NOTES. 
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En prenant les points milieux a, S des deuxsegmens AA' et BB', on change cette rela¬ 
tion en celle-ci : 
rnk.mX! — mPi.mW = 2 aS . m(). 
(19) En supposant que le point m se confonde successivement avec A, A', B, B', on 
aura des relations particulières entre les cinq points A, A', B, B' et O, qui ont aussi été 
démontrées par Pappus, propositions 41,42 et 43. 
Propriétés géométriques. 
(20) La plus ancienne propriété géométrique de l’involution de six points, se trouve 
dans Pappus (proposition 130 du septième livre), où l’on voit que quand les quatre côtés 
et les deux diagonales d’un quadrilatère sont rencontrés par une diagonale quelconque en 
six points , A , A'; B, B'; et G, G',dont les deux premiers appartiennent à deux côtés 
opposés, les deux suivans aux deux autres côtés opposés , et enfin les deux derniers aux 
deux diagonales, on a entre les segmens formés par ces points, les équations (B). 
Il résulte évidemment de cette proposition que, réciproquement, quand une des équations 
(B) a lieu, on peut faire passer par les six points, les quatre côtés et les deux diagonales d’un 
quadrilatère; et l’on conclut de là, par la proposition de Pappus, que les trois autres équa¬ 
tions (B) ont lien en vertu de la première. 
Voilà comment, au moyen de la proposition géométrique de Pappus, on démontre cette 
propriété arithmétique de l’involution de six points, savoir, que l’une quelconque des 
équations (B) comporte les trois autres. 
Et comme, en combinant ces équations entre elles, on en déduit immédiatement les 
équations (A) , il se trouve aussi démontré, par la seule proposition de Pappus, que les six 
points où une transversale menée arbitrairement dans le plan d’un quadrilatère rencontre 
ses quatre côtés et ses deux diagonales, ont entre eux les relations exprimées par les 
équations (A). 
(21) La démonstration du théorème de Pappus est facile; mais au moyen de ce que la 
relation d’involution est projective, on peut simplifier cette démonstration, en projetant 
le quadrilatère de manière qu’il devienne un parallélogramme. 
C’est ainsi qu’a fait M. Brianchon pour démontrer ce théorème, dans son Mémoire sur 
les lignes du second ordre. 
(22) Il ne paraît pas que les relations (A), qui comprennent huit segmens, aient été 
connues de Pappus. Car parmi ses propositions sur le quadrilatère coupé par une trans¬ 
versale, nous n’en trouvons qu’une qui se rapporte à ces relations; c’en est un cas parti¬ 
culier. La transversale est menée par le point de concours de deux côtés opposés, parallèle¬ 
ment à une diagonale (proposition 133). Les deux propositions qui précèdent celle-là 
pourraient être aussi considérées comme des cas particuliers des relations (A); mais comme 
elles viennent immédiatement après la proposition 130, dont elles sont aussi des cas par- 
