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NOTES. 
ticuliers, nous devons les y rattacher , et les regarder comme des corollaires des relations 
(B) qu’exprime cette proposition 130. 
(23) Les équations (À) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues; c’est sous leur 
forme que ce géomètre a caractérisé l’involution de six points, à l’occasion du beau 
théorème suivant, qui est devenu si fécond dans la Géométrie récente, savoir , que ; 
Un quadrilatère étant inscrit dans une conique , les points où une transversale 
quelconque rencontre la conique et les quatre côtés du quadrilatère, sont en involution. 
Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de 
Géométrie h 
(24) Et l’on en conclut successivement les deux suivans, qui sont plus généraux : 
Quand deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère, si l’on tire une transver¬ 
sale quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points, et deux côtés opposés du 
quadrilatère en deux autres points ; ces six points seront en involution. 
Quand trois coniques sont circonscrites à un même quadrilatère , une transversale 
quelconque les rencontre en six points qui sont en involution. 
Ces deux théorèmes sont,, comme on voit, une généralisation de celui de Desargues, 
qui s’en conclut comme corollaire. M. Sturm les a démontrés le premier par l’ana¬ 
lyse 2 . 
(25) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de l’involulion de 
six points, que nous avons appelées arithmétiques. Pour cela on considérerait différentes 
autres coniques passant par les quatre mêmes points que les trois premières ; chacune 
d’elles pouvant être déterminée par une cinquième condition. Si l’on demande qu’une de 
ces coniques soit tangente à la transversale , on trouvera les points doubles ; si l’on veut 
qu’une des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale, on trouvera le point 
central; etc. 
(26) Une propriété bien importante de l’involution de six points, c’est que : Si d’un 
point pris arbitrairement, on mène des droites à ces six points , les relations d’in¬ 
volution [A) et (i?) , qui ont lieu entre les segmens compris entre les points, auront lieu 
aussi entre les sinus des angles formés par les six droites qui interceptent ces seg¬ 
mens. 
On a coutume de démontrer cette proposition, en exprimant les segmens en fonction 
des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport anharmonique de 
quatre points nous en fournit une démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer 
que chacune des relations d’involution (À) et (B) est une égalité de deux rapports an- 
harmoniques ( ainsi que nous le ferons voir dans la deuxième partie de cette Note ). Ces 
rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segmens, les sinus des 
angles qui comprennent ces segmens ; par conséquent la relation d’involution a lieu en¬ 
tre les sinus des angles que les six droites font entre elles. 
Réciproquement, quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six 
1 Voir la Note XV. 
2 Annales de Mathématiques ,tom. XVII, pag. 180. 
