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NOTES. 
C’est une des formules qui expriment que les points A, A' sont conjugués harmoniques 
par rapport aux deux E, F. 
(40) On peut exprimer, comme on sait, la relation harmonique de quatre points, au 
moyen d’un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposés. 
Il est aussi une manière d’exprimer l’involution de six points en se servant d’un point 
auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposés; et cette manière donne lieu à un 
nombre infini d’équations, dont une seule suffit pour exprimer l’involulion. 
Soient A et A', B et B', C et C' les six points en involution, et m un septième point 
pris arbitrairement sur la droite sur laquelle sont situés les premiers; soient a, S, y, les 
points milieux des segmens AA', BB', CG'; supposant ces points placés dans l’ordre où nous 
les énonçons, on aura la relation 
(F). mk.mk'.Sy —mB. mJl'.xy mC. mC. aS = o. 
Cette équation a lieu quelle que soit la position du point m. 
En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution, 
ou avec les points a, §, y, ou avec divers autres points déterminés, on aura diverses re¬ 
lations qui exprimeront toutes l’involution de six points. 
(41) La démonstration de l’équation (F) est facile. Nous allons faire voir que si cette 
équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position 
quelconque de ce point; c’est-à-dire qu’en appelant M cette nouvelle position du point m , 
on aura nécessairement 
(F') . . . 
. . MA.MA'.fy— MB.MB'.ay-+- MC.MC'.af == o, 
ensuite nous montrerons que l’équation (F) a effectivement lieu pour une certaine position 
du point m. 
Pour déduire l’équation (F') de l’équation (F), j’écris : 
mk = MA — Mm, mk! — MA' — Mm., 
mk.mk' — MA.MA' — (MA -h MA ')Mm -+- Mm, 2 , 
ou 
Pareillement : 
mk.mk ' = MA.MA' — 2Ma.Mm + Mm . 
wB.mB' = MB.MB' — 2MC. Mwi -+- Mm , 
et 
mC.mC' = MC.MC' 2My.Mm -+- Mm . 
L’équation (F) devient donc : 
MA.MA'.ffy — MB.MB'.ay-f- MC.MC'.ccf — 
2.Mm. (6VM& tty.MÇ -H -4- (Gy — <x£*) Mm 
