NOTES. 
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Or, on a, entre les quatre points a, 6, y, M, la relation 
Gy.Ma — ayMG -+- aGMy = o, 
ainsi que nous l’avons démontré dans la Note IX ( pag. 305 ) ; on a aussi, entre les points 
a, 6 , y , la relation 
Gy — ay ctG — o ; 
1 équation ci-dessus se réduit donc à l’équation (F'), qu’il s’agissait de démontrer. 
Il reste à faire voir que lequation (F) a lieu pour une certaine position particulière du 
point m. Supposons que le point soit situé au point central de l’involution des six points ; 
on aura mA.mA' = mB.wB' =mC.mC'-, et l’équation se réduira à 
Gy — ay ■+■ aG = o , 
équation identique. 
Ainsi la formule (F'), ou (F) qui lui est semblable, est démontrée. 
(42) On peut remplacer dans 1 équation (F) les segmens a.6, ccy , ëy, par d’autres segmens 
entre les seuls points A, A', B, B', G et C' : car on a 
BC + B'C' AC -i- A'C' AB -h A'B' 
?r= -â-’ -a- -I-" 
(43) Supposons que dans l’involution les deux points G, G', se confondent en un seul E, 
et que les deux points B, B', se confondent aussi en un seul F; l’équation deviendra 
(G).fwA.iwA'.EF — m¥ «E -+- mE ,xF = o. 
Celte équation exprime une relation entre quatre points A, A', E,F, dont les deux pre¬ 
miers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point 
m pris arbitrairement. 
En donnant à ce cinquième point différentes positions particulières, on aura différentes 
expressions de la relation harmonique de quatre points. 
(44) L’équation (F) nous paraît être, jusqu’ici, l’expression la plus étendue et la plus 
féconde de l’involulion de six points; car on en conclut toutes les différentes équations 
que nous avons données, et diverses autres qui donnent des expressions simples de plu¬ 
sieurs rapports de produits de segmens, que l’on a à considérer dans cette théorie. 
Par exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouve cette 
expression très-simple du rapport de AC.AG' à AB.AB' 
AC.AC' ay AC -t- A'C' 
AB.AB' ~~ 7g ~ AB + A'B' ’ 
L’expression de 
A'C. A'C' 
A'B. A'B' 
est la même; d’où l’on conclut les équations (A). 
