NOTES. 
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Or 
CC _ CC' 
mÇj ’ mC' 
donc 
mC 
~ër 
l’équation devient donc 
mk.mk’ — inB.mB' -i- mO = o. 
Remplaçant a£ par 
AB h- A'B' 
2 
on a l’équation de Pappus. 
(48) Si l’on suppose que les deux points B, B' se confondent en l’un des points doubles E , 
de l’involution, cette équation deviendra 
(H). mk.mk' — »îE -t- 2stE.»tO — o. 
(49) Si les deux points A, À', se confondent au deuxième point double F, il viendra 
mF — »*E -t- 2EF.mO = o. 
Cette équation exprime une relation entre trois points quelconques m, E, F, et le point 
milieu des deux derniers. 
(50) La première des équations (D) et l’équation (H) donnent une démonstration du cas 
de maximum ou minimum démontré par Apollonius, dont nous avons parlé (17). Car, 
d’après la première de ces deux équations, on voit que le rapport 
AC. AC' 
AB. AB' ’ 
où A est supposé le point variable, sera un maximum ou minimum quand le produit 
BA.BA' sera lui-même un minimum ou maximum. Or, d’après l’équation (H), on a 
BA.BA' = BË 2 — 2«E.BO. 
Le produit BA.BA' sera donc un maximum (ou un minimum à cause des signes) 
quand le coefficient variable «Esera nul. Alors les deux points A, A', se confondront avec 
le point E; ce qui est la proposition d’Apollonius. 
(51) On peut exprimer l’involution de six points par une équation où entrent deux 
points pris , l’un et l’autre, arbitrairement. 
Soient m et n ces deux points ; soient a le conjugué harmonique du point n par rapport 
à A et A'; 6 le conjugué harmonique de n par rapport à B et B'; et y le conjugué harmo¬ 
nique de n par rapport à C et C'. On aura, quels que soient les deux points m et n pris sur 
la droite où sont situés les points de l’involution, la relation 
mk.mk’ mB.mB' mC.mC' 
- Sy.na — ■- av.nS -t- - aS.ny == o. 
nk.nk' nB.nB’ ‘ nC.nC' 
(I). 
