NOTES. 
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l’on conclu! que le rapport anharmonique clés quatre premières droites est égal au 
rapport anharmonique des quatre autres. 
(2) On a donc ce théorème général, qui est la réciproque de la conclusion que nous 
Tenons de tirer du théorème de Desargues : 
Quand on a deux faisceaux de quatre droites, qui se correspondent une aune, 
si le rapport anharmonique des quatre premières est égal au rapport anharmoni¬ 
que des quatre autres, les droites d’un faisceau rencontreront, respectivement, leurs 
correspondantes en quatre points, qui seront sur une conique passant par les deux 
points, centres des deux faisceaux. 
Ce théorème, comme on le voit par la démonstration que nous Tenons d’en donner, 
n’est au fond qu’une expression différente de celui de Desargues ; mais ses corollaires, ex¬ 
trêmement nombreux, embrassent une partie des propriétés des coniques, sur lesquelles 
semblaient ne pouToir s’étendre les théorèmes de Desargues et de Pascal. Et en effet, outre 
les aTantages propres de sa forme différente, il a quelque chose de plus général que chacun 
de ces deux théorèmes; et ceux-ci s’en déduisent, non plus comme transformation, mais 
comme simples corollaires. C’est ce que nous ferons Toir tout-à-l’heure, en montrant la 
nature des applications auxquelles se prête ce théorème. 
Mais nous devons d’abord en donner une démonstration directe, puisque nous proposons 
de substituer ce théorème aux plus généraux dont on s’est servi jusqu’ici, et de tirer ceux- 
ci du premier. 
(3) Cette démonstration est d’une facilité et d’une simplicité extrême. Car, le théorème 
énonçant une égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites^ et 
ces rapports conserrant les mêmes valeurs quand on fait la perspective de la figure, il suffit 
de prouver que cette égali té a lieu dans le cercle qui sert de base au cône sur lequel on con¬ 
sidère laconique. Or, dans le cercle, les angles que les quatre droites du premier faisceau font 
entre elles sont égaux respectivement aux angles que les droites correspondantes du deuxième 
faisceau font entre elles, parce que ces angles sous-tendent les mêmes arcs ; donc le rapport 
anharmonique des sinus des premiers angles est égal au rapport anharmonique des sinus 
des angles du deuxième faisceau ; puisque ces sinus seront égaux chacun à chacun. 
Ainsi le théorème est démontré. 
(4) Imaginons que trois droites du premier faisceau, et les trois droites correspondantes 
du second faisceau, soient fixes; que la quatrième droite du premier faisceau tourne 
autour de son centre, et que la droite correspondante dans le second faisceau tourne 
aussi, et de manière à ce que l’égalité des rapports anharmoniques des deux faisceaux ait 
toujours lieu; ces deux droites mobiles se couperont toujours sur une conique, qui 
sera déterminée par les cinq points fixes de la figure, c’est-à-dire les centres des deux 
faisceaux, et les points où les trois droites fixes du premier rencontreront les trois droites 
fixes du second. 
(5) De là naît une infinité de manières d’engendrer les coniques, par l’intersection de 
deux droites tournant autour de deux points fixes. Car on peut, d’une infinité de manières, 
former deux faisceaux de lignes droites, qui se correspondent une à une, et telles que le 
