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NOTES. 
rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau, soit toujours 
égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau. 
(6) Par exemple, concevons un angle fixe; et qu’autour d’un point, comme pôle, on fasse 
tourner une transversale; elle rencontrera, dans chacune de ses positions, les côtés de 
l’angle en deux points. Quatre points ainsi déterminés sur l’un des côtés auront leur rap¬ 
port anharmonique égal à celui des quatre points correspondons sur l’autre côté (parce 
que ce rapport sera le même que celui des quatre transversales qui déterminent ces points). 
Il s’ensuit que, si d’un premier point fixe on mène des droites aux points marqués sur le 
premier côté de l’angle, et d’un second point fixe des droites aux points marqués sur le 
second côté, on aura deux faisceaux de droites qui se correspondront une à une et qui se 
couperont sur une conique passant par les deux points fixes. D’où l’on conclut que : 
Quand les trois cotés d’un triangle, de forme variable, tournent autour de trois 
points fixes, et que deux des sommets du triangle parcourent deux droites fixes, 
le troisième sommet engendre une conique, qui passe par les deux points autour 
desquels tournent les deux côtés adjacens à ce sommet 1 . 
Ce théorème est précisément l’hexagramme mystique de Pascal, présenté sous une autre 
forme. C’est sous cet énoncé qu’il a été trouvé par Maclaurin et Braikenridge ; et qu’il a 
conduit le premier de ces deux géomètres à l’énoncé même du théorème de Pascal. 
(7) Maintenant, soient deux faisceaux de droites, émanées de deux centres différons, 
et se coupant une à une sur une même droite menée arbitrairement dans leur plan. Le 
rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau sera égal au 
rapport anharmonique des quatre droites correspondantes dans le second faisceau ( parce 
que ce rapport sera le même que celui des quatre points où ces droites se rencontrent une 
à une sur la transversale fixe). Maintenant, qu’on transporte les deux faisceaux en d’autres 
lieux de leur plan , de manière à changer leur position relative ; leurs droites correspon¬ 
dantes ne se couperont plus une à une sur une droite ; mais il résulte de notre théorème 
qu 'elles se couperont toujours sur une section conique, qui passera par les deux 
sommets des deux faisceaux. 
(8) Supposons que les deux faisceaux primitifs, dans leur déplacement, aient conservé 
leurs centres respectifs; c’est-à-dire qu’ils aient tourné autour de leurs centres; alprs le 
théorème que nous venons d’énoncer exprime précisément le théorème de Newton, sur la 
description organique des coniques. 
(9) Si les rayons des deux faisceaux primitifs, au lieu de se croiser sur une même droite, 
se croisaient sur une conique passant par leurs deux centres, les deux faisceaux satisfe- 
1 Le côté du triangle opposé au sommet décrivant pourrait, au lieu de tourner autour d’un point fixe, rouler 
sur une conique à laquelle les deux droites fixes seraient tangentes ; alors le sommet libre décrirait encore une 
conique passant par les deux points fixes. 
Cela résulte de ce que quatre tangentes quelconques à une conique en rencontrent deux autres, chacune 
en quatre points, tels que le rapport anharmonique des quatre points de la première est égal au rapport 
anharmonique des quatre points de la seconde [voir la Note suivante). 
Cette généralisation du théorème de Maclaurin et de Braikenridge conduira à un grand nombre de proposi¬ 
tions diverses, dont la plupart seront nouvelles. 
