NOTES. 
337 
raient à la condition que quatre droites quelconques de l’un eussent leur rapport anharmo- 
niqueégalà celui des quatre droites correspondantes du second [d’après le théorème (2)]. 
Donc, après un déplacement quelconque de ces deux faisceaux, leurs rayons correspon¬ 
dons se couperont encore sur une conique. 
(10) Si les deux faisceaux ne font que tourner autour de leurs centres respectifs, on en 
conclut ce théorème : 
Si deux angles de grandeur quelconque , mais constante, tournent autour de 
leurs sommets , de manière que le point d’intersection de deux de leurs côtés par¬ 
coure une conique passant par leurs sommets , leurs deux autres côtés se croise ¬ 
ront sur une seconde conique qui passera aussi par les deux sommets. 
(11) Ce théorème, qui est une généralisation de celui de Newton, n’est lui-même qu’une 
manière particulière, entre une infinité d’autres semblables, pour former les coniques 
par l’intersection de deux droites mobiles autour de deux points fixes, ou par l’intersection 
de deux côtés de deux angles mobiles autour de leurs sommets ; et au lieu de supposer ces 
deux angles de grandeur constante, comme nous venons de le faire, on peut les supposer 
variables, et il est alors une infinité de manières de régler la relation qu’ils devront con¬ 
server entre eux. 
Par exemple, on peut supposer que chacun d’eux intercepte sur une droite fixe des 
segmens de grandeur constante. 
Ainsi le théorème de Newton, qui a eu quelque célébrité , et qui a paru capital dans la 
théorie des coniques, ne se trouve plus qu’un cas très-particulier d’un mode général de 
description de ces courbes. 
(12) Cette circonstance nous paraît bien propre à montrer deux choses : d’abord qu’il est 
toujours utile de remonter à l’origine des vérités géométriques , pour découvrir, de ce point 
de vue élevé, les différentes formes dont elles sont susceptibles et qui peuvent en étendre 
les applications ; car le théorème de Newton, que quelques géomètres très-distingués n’ont 
pas dédaigné de démontrer, comme l’un des plus beaux de la théorie des coniques, n’a 
pourtant point eu de grandes conséquences, parce que sa forme ne se prêtait qu a peu de 
corollaires. Le théorème général, au contraire, d’où nous le déduisons, se prête à une 
foule de déductions diverses. 
On voit ensuite ici une preuve de cette vérité , que les propositions les plus générales et 
les plus fécondes sont en même temps les plus simples et les plus faciles à démontrer; car 
aucune des démonstrations qu’on a données du théorème de Newton n’est comparable en 
brièveté à celle que nous avons donnée du théorème général en question (3); celle-ci même 
a l’avantage de n’exiger la connaissance préalable d’aucune propriété des coniques. 
(13) Reprenons les deux faisceaux que nous avons supposés se couper sur une droite , 
et supposons cette droite à l’infini; c’est-à-dire que les deux faisceaux aient leurs droites 
respectivement parallèles. Qu’on les déplace en les faisant tourner autour de leurs centres; 
alors leurs droites correspondantes se couperont sur une conique, qui passera par leurs 
centres. On peut énoncer ce théorème en disant que : Quand on a dans un plan deux 
figures semblables , mais non semblablement placées , les droites menées arbitraire- 
Tom. XL 43 
