NOTES. 
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d’où dérivent la plupart des propriétés des coniques, même les plus générales : il serait 
propre, à raison de cette très-grande fécondité, et de la facilité extrême avec laquelle il 
se démontre, à servir de fondement à une théorie géométrique des coniques. 
(19) Comme c’est la notion du rapport anharmonique qui fait le caractère principal de 
ce théorème, et qui le rend propre aux innombrables déductions qu’on peut en tirer, nous 
le désignerons sous le nom d a propriété anharmonique des points d’une conique C 
Remarquons que, de même que les théorèmes de Pascal, de Desargues , de Newton, et 
la question ad quatuor lineas, sont des corollaires de cette propriété anharmonique, 
celle-ci peut aussi se déduire, par la même voie, de chacun de ces théorèmes, et servir par 
conséquent à passer de l’un à l’autre. Ce qui prouve que la notion du rapport anharmo¬ 
nique est véritablement le lien commun entre ces divers théorèmes , et qu’ils ne diffèrent 
l’un de l’autre que par la forme. 
On avait déjà remarqué les rapports, nous pouvons même dire la presque identité qui 
a lieu entre les théorèmes de Desargues et de Pascal, mais non point entre ceux-ci et les 
autres théorèmes principaux que nous avons cités. On démontrait, au contraire, chacun 
de ces théorèmes d’une manière différente, et toujours incomparablement plus longue que 
la démonstration intuitive que nous avons donnée du théorème en question. 
(20) Nous pourrions aussi déduire de ce théorème la belle proposition de Carnot, con¬ 
cernant le rapport des segmens faits par une conique sur les trois côtés d’un triangle tracé 
dans son plan, et qui exprime une propriété de six points pris sur une conique, tout aussi 
générale que les théorèmes de Desargues, Pascal et Newton. 
(21) Enfin notre propriété anharmonique est encore susceptible d’une nouvelle forme, 
qui en fait une proposition nouvelle, différente de toutes celles qui précèdent, et qui se 
prête à un nouveau genre de déductions extrêmement nombreuses. 
Cette nouvelle proposition s’exprime par une égalité à trois termes. On peut l’énoncer 
ainsi : 
Étant données dans un plan deux transversales ; et étant pris sur la première , 
deux points fixes quelconques O, E , et sur la seconde deux points O', E', aussi 
quelconques ; 
Si , autour de deux pôles fixes P, P', pris arbitrairement dans le plan de la fi¬ 
gure , on fait tourner deux droites qui rencontrent les deux transversales, respec¬ 
tivement, en deux points a, a', déterminés de manière que l’on ait la relation 
(A) 
Oa 
E a 
À et g. étant deux constantes ; 
Le point de concours des deux droites mobiles engendrera une conique qui pas¬ 
sera par les deux pôles P, P'. 
1 Nous disons des points d’une conique, parce que nous -verrons dans la Note suivante que les coniques jouis¬ 
sent d’une secon de propriété anharmonique, analogue à cette première, et qui concerne leurs tanr/entes. 
