340 
NOTES. 
(22) Ce théorème, où il y a tant d’élémens arbitraires , tels que les directions des trans¬ 
versales , les positions des quatre points pris sur elles; celles des deux pôles , et les valeurs 
des deux coefficiens, ne diffère point, au fond, des propriétés générales des coniques dont il 
a été question dans cette Note; car nous le déduisons, comme chacune d’elles, de notre 
proposition anharmonique. Mais sa forme permet d’en étendre les applications beaucoup 
plus loin que l’on n’a fait à l’égard de chacune de ces propositions. 
(23) Ainsi, par exemple, si l’on suppose les deux points E , E', placés sur la droite qui 
unit les deux pôles P, P', l’équation, au Heu d’exprimer une conique, devient celle d’une 
simple ligne droite. De là résultent, comme corollaires d’autant de propriétés des coniques, 
une infinité de propriétés de la ligne droite; et parmi ces propositions se trouvent divers 
systèmes de coordonnées, particulièrement celui de Descartes. 
Il est plusieurs autres manières de faire que l’équation représente une ligne droite. Il 
suffit, en général, de satisfaire à une seule relation de condition entre les données delà 
question, qui est exprimée par l’équation 
Or OY 
E + 
e et e' étant les points où les deux transversales rencontrent la droite qui joint les 
pôles P, P'. 
Nous montrerons, dans un autre écrit, les nombreux usages auxquels l’équation (A) nous 
a paru se prêter dans la théorie des coniques, et dans celle des transversales. 
(24) Je reviendrai aussi ailleurs sur la propriété anharmonique des coniques, exprimée 
sous la forme d’une égalité à deux termes par le théorème (2) ; parce qu’elle se présentera 
dans la théorie des figures homographiques dont elle est une propriété générale. Nous 
l’énoncerons alors en ces termes : 
Deux faisceaux homograph iques étant situés dans un même plan, les droites du 
premier rencontrent respectivement les droites du second , en des points qui sont sur 
une conique qui passe par les centres des deux faisceaux. 
Cet énoncé, qui substitue à l’idée de rapport anharmonique, qui est déjà très- 
simple, mais qui ne concerne directement qu’un faisceau de quatre droites, une autre 
notion qui comprend explicitement toutes les droites d’un même faisceau, apportera 
dans les applications du théorème une promptitude et une facilité nouvelle. 
(25) On nous pardonnera peut-être la longueur de cette Note , si l’on remarque qu’elle 
contient, avec leurs démonstrations, la plupart des propriétés les plus belles et les plus 
générales de la théorie des coniques. L’analyse, certainement, n’aurait point été plus briève, 
ni plus facile, dans cette circonstance, que la pure Géométrie. 
Nous observerons, à celte occasion, qu’aucune de ces propositions, qui sont pourtant les 
plus considérables et les plus fécondes de toute la théorie des coniques, n’entre aujour- 
d hui dans les ouvrages analytiques ou 1 on étudie ces courbes. Ces ouvrages ne sont vérita¬ 
blement pas des traités des coniques; ce sont des applications de la Géométrie analytique, 
