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NOTES. 
respondre le suivant, que nous avons démontré dans notre premier Mémoire sur les 
transformations paraboliques 1 : « quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, 
une tangente quelconque à la courbe a le produit de ses distances à deux sommets opposés 
du quadrilatère dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux 
autres sommets ; » enfin M. Poncelet a montré, dans sa Théorie des polaires récipro¬ 
ques, que le théorème de Newton sur la description organique des coniques a pareille¬ 
ment son correspondant ; et qu’il en est de même aussi du théorème de Carnot sur les 
segmens faits par une conique sur les trois côtés d’un triangle 2 . 
On doit penser que tous ces nouveaux théorèmes, qui expriment chacun une pro¬ 
priété générale de six tangentes d’une même conique, doivent dériver tous, de même que 
ceux auxquels ils correspondent, d’une seule et unique proposition qui correspondra à 
celle que nous avons appelée, dans la Note précédente, propriété anharmoniqüe des 
points d’une conique. 
C’est ce qui a lieu en effet, et cette nouvelle proposition peut s’énoncer ainsi : 
Quand deux droites, situées dans un même plan, sont divisées chacune en qua¬ 
tre segmens, et que les points de division de la première droite correspondent un à 
un à ceux de la seconde ; si le rapport anharmoniqüe des quatre premiers points 
est égal au rapport anharmoniqüe des quatre autres, les quatre droites qui join¬ 
dront un à un les points correspondons, et les deux droites données, seront six 
tangentes d’une même conique 3 . 
On conçoit aisément que ce théorème comprendra une infinité de propositions diverses 
concernant la description des coniques par leurs tangentes. Car il existe une infinité de 
manières de concevoir deux droites divisées de telle sorte que le rapport anharmoniqüe 
de quatre points quelconques de la première soit égal à celui des quatre points corres- 
pondans de la seconde. 
En recherchant dans les coniques d’Apollonius, et dans les auteurs modernes, les 
diverses propositions qui concernent les tangentes d’une conique, nous avons reconnu 
que presque toutes ne sont que des applications ou des corollaires du théorème que nous 
venons d’énoncer. Les théorèmes principaux que nous avons cités au commencement de 
cette Note, tel que celui de M. Brianchon, ne sont que des expressions différentes ou des 
transformations de celui-là, qui, de la sorte, est un lien commun entre ces divers 
théorèmes, et sert à passer de l’un à l’autre. 
Nous appellerons ce théorème la propriété anharmoniqüe des tangentes d’une co¬ 
nique. 
Il nous reste à donner la démonstration de ce théorème. Quelques mots suffiront. 
1 Art. 10, pag. 289 du tom. V de la Correspondance mathématique de Bruxelles. 
2 Journal de mathématiques, de M. Crelle , tom. IV. 
' Quand les deux droites données ne sont pas dans un même plan , les droits qui joignent, un à un , leurs 
points de division , forment alors un hyperboloïde à une nappe. Ce que nous avons démontré sous un autre 
énoncé dans la Correspondance de l’école Polytechnique , tom. II, pag. 446. C’est de ce théorème général dans 
l’espace , que nous avons déduit la propriété des coniques dont il s’agit (voir la Correspondance mathématique 
de M. Quetelet, tom. IV , pag. 364). 
