NOTES. 
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Les droites qui joindront deux à deux les points où deux transversales rencontre¬ 
ront la courhe se rencontreront sur cette droite ; 
Enfin cette droite rencontrera chaque transversale en un point, qui sera le conjugué 
harmonique du point d'inflexion par rapport aux deux points où la transversale ren¬ 
contrera la courhe. 
Il est manifeste que cette droite passe par les points de contact des trois tangentes à 
la courbe, qu’on peut mener, généralement, par son point d’inflexion. On -voit donc que 
cette droite et le point d’inflexion jouissent, par rapport à la courbe, des mêmes propriétés 
qu’un point et sa polaire par rapport à une conique. Par cette raison, nous l’appellerons 
la polaire du point d’inflexion. 
Le théorème que nous venons d’énoncer se démontre aisément par quelques considéra¬ 
tions de Géométrie; et l’on en peut déduire diverses propriétés des courbes du troisième 
degré. Mais nous ne nous proposons ici que d’en montrer l’usage pour la démonstration 
des deux modes de génération de ces courbes par l’ombre de cinq d’entre elles. 
On sait que toute courbe du troisième degré a un ou trois points d’inflexion. Qu’on la 
projette, c’est-à-dire qu’on en fasse la perspective, de manière que l’un de ses points 
d’inflexion passe à l’infini ; sa polaire, à cause de la troisième partie de notre théorème, 
deviendra un diamètre de la courbe. C’est là l’origine des diamètres dans les courbes 
du troisième degré. 
Maintenant, que la perspective soit faite de manière que non-seulement le point d’in¬ 
flexion, mais la tangente à la courbe en ce point, passe tout entière à l’infini; la courbe 
aura un diamètre, et n’aura aucune asymptote, elle sera purement parabolique; c’est 
le caractère exclusif des cinq paraboles divergentes. Il est donc démontré qu’une courbe 
quelconque du troisième degré peut être projetée perspectivement suivant une des cinq 
paraboles divergentes; d’où résulte que réciproquement ces cinq courbes peuvent produire 
par leur ombre toutes les autres. C’est le théorème de Newton, le premier des deux que 
nous nous proposions de démontrer. 
Passons au second : Prenons la polaire d’un point d’inflexion de la courbe proposée, 
et projetons celte courbe, perspectivement, de manière que cette polaire passe à l’infini ; 
il résulte de la troisième partie du théorème ci-dessus, que le point d’inflexion sera en 
projection le centre de la courbe. Ainsi donc toute courbe du troisième degré peut être 
projetée perspectivement suivant une courbe ayant un centre; d’où résulte que récipro¬ 
quement les cinq courbes qui ont un centre peuvent produire par leur ombre toutes les 
autres. C’est le second théorème que nous nous proposions de démontrer. 
Ce théorème et celui de Newton peuvent être compris sous ce seul énoncé, savoir : 
Ainsi que les courbes du second degré ne peuvent donner lieu qu'à une seule 
espece de cône , de même les courbes du troisième degré ne peuvent donner lieu qu’à 
cinq espèces de cônes; 
En coupant ces cônes d’une certaine manière, on forme les cinq paraboles cu¬ 
biques ; 
Et les coupant d’une autre manière, on forme les cinq courbes qui ont un centre. 
