NOTES. 
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» projection étant perpendiculaire à cet axe; la projection sera une ligne aplanétique i. » 
Seconde manière : « Concevons deux cônes droits, ayant leurs sommets en deux points 
» différons, et leurs axes parallèles entre eux, l’intersection de ces deux cônes, projetée 
» sur un plan perpendiculaire à leurs axes, donnera les lignes aplanétiques 2 . » 
Ces deux modes de génération donnent les deux ovales conjuguées qui forment une ligne 
aplanétique complète; et ils sont propres à montrer les différentes formes que peuvent 
prendre ces courbes, et particulièrement celles qui ont échappé à l’analyse de Descartes. 
Nous avons trouvé que le second théorème peut être généralisé delà manière suivante : 
« Quand deux cônes obliques ont pour bases sur un même plan deux circonférences 
» de cercles, et que les droites qui joignent les centres de ces courbes aux sommets des 
>> deux cônes respectivement, se rencontrent en un point de l’espace; un troisième 
» cône ayant pour sommet ce point, et passant par la courbe d’intersection des deux 
» premiers, rencontrera le plan de leurs bases, suivant une courbe du quatrième degré 
» qui sera une ligne aplanétique 3. » 
Pour décrire sur le plan, et sans la considération des lieux à la surface, ni des pro¬ 
jections, les lignes aplanétiques, on pourra se servir de la construction suivante, qui est 
plus expéditive que celle de Descartes, et qui a aussi l’avantage de donner en même 
temps les deux ovales conjuguées. 
Étant donnés deux cercles dans un plan, si, autour d’un point fixe,pris sur la 
droite qui joint leurs centres, on fait tourner une transversale , qui rencontre les 
cercles chacun en deux points; les rayons menés des centres des deux cercles à 
leurs points de rencontre par la transversale, respectiveynent, se couperont en quatre 
points , dont le lieu géométrique sera une ligne aplanétique complète, ayant ses deux 
foyers situés aux centres des deux cercles. 
Cette construction résulte immédiatement du théorème de Ptolémée, sur le triangle 
coupé par une transversale. Car ce théorème, appliqué à la figure, fait voir que chaque 
point de la courbe construite jouit de la propriété que ses distances aux deux circonfé¬ 
rences de cercle sont entre elles dans une raison constante. 
Cette description des ovales a encore l’avantage de donner, sans constructiou aucune, 
les tangentes à ces courbes; car chaque point de la courbe correspond d’après la cons¬ 
truction, à deux points des deux cercles;et les tangentes à la courbe et aux deux cercles, 
en ces trois points, concourent en un mêmepoint; ce qu’il est aisé de démontrer par un 
théorème de Géométrie 1 2 3 4 . 
On ne saurait avoir trop de moyens différens de décrire une même courbe, parce que 
1 Nouveaux Mémoires de VAcadémie de Bruxelles, tom. V ; et supplément au Traité de la Lumière de Sir 
J. üerschel, par 31. Quetelet, pag. 403. 
2 Nouveaux Mémoires de VAcadémie de Bruxelles , tom. Y ; et supplément au Traité de la Lumière, de Sir 
J. Herschel, par 31 Quetelet, pag. 397. 
3 On peut généraliser aussi le premier théorème, et considérer les lignes aplanétiques dans une surface quel¬ 
conque du second degré au lieu d’une sphère. 
4 Correspondance mathématique de Bruxelles , tom. Y, pag. 116 
