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NOTES. 
chacun exprime une propriélé caractéristique de la courbe, d’où dérivent naturellement 
plusieurs autres propriétés qui n’apparaissent pas aussi aisément dans les autres modes 
de description. 
Les descriptions précédentes des lignes aplanétiques font usage de leurs deux foyers; 
voici une autre manière de les décrire, où l’on ne se sert que d’un foyer, et qui offre 
plusieurs avantages particuliers. 
Étant donné un cercle et un point fixe , pris arbitrairement dans son plan , si par 
ce point on mène un rayon vecteur à un point quelconque de la circonférence du 
cercle, et une seconde droite , qui fasse avec un certain axe fixe un angle double de 
celui que fait le rayon vecteur avec cet axe , et qu’on porte sur cette seconde droite , 
a partir du point fixe, un segment proportionnel au carré du rayon vecteur, l’ex¬ 
trémité de ce segment aura pour lieu géométrique une ligne aplanètique formée de 
deux ovales conjuguées dont un foyer est au point fixe. 
Ce théorème, faisant dériver directement les lignes aplanétiques du cercle, est très- 
propre à faire découvrir plusieurs propriétés de ces courbes. Par exemple , les propriétés 
connues du système de deux ou de trois cercles s’appliqueront immédiatement au sys¬ 
tème de deux ou de trois lignes aplanétiques qui auront un foyer commun. 
Pour faire usage de ce théorème, il faut remarquer que si, au lieu d’une circonférence 
de cercle, l’extrémité du rayon vecteur parcourt une ligne droite, on forme alors une 
parabole qui a son foyer au point fixe. 
Ainsi, par exemple, quand deux droites tournent autour de deux points fixes en fai¬ 
sant un angle de grandeur constante, leur point d’intersection engendre un cercle ; on 
en conclut que : 
Si l’on a deux groupes de paraboles ayant toutes le même foyer, et dont les unes 
passent par un premier point fixe , et les autres par un second point fixe ; et qu’on 
prenne une parabole du premier groupe, et une parabole du second groupe, de 
maniéré que leurs axes fassent entre eux un angle de grandeur constante, les points 
d’intersection de ces deux paraboles seront sur une ligne aplanètique. 
Ce théorème est susceptible de plusieurs conséquences, que nous ne pouvons exami¬ 
ner ici l . 
Les lignes aplanétiques jouissent d’une propriété assez curieuse qui, je crois, n’a pas 
encore été donnée. C’est qu’aw lieu de deux foyers seulement, elles en ont toujours 
trois : c’est-à-dire , qu’outre les deux foyers qui servent à leur description, elles en ont 
un troisième qui joue le même rôle, avec l’un des deux premiers, que ces deux-ci en¬ 
semble. La considération des trois foyers est bien propre à faire connaître toutes les 
formes possibles des lignes aplanétiques. 
Quand l’un des foyers est à l’infini, la courbe devient une conique, et conserve ses 
deux autres foyers. 
1 On en déduit, entre autres, un théorème dont M. Quetelet a fait usage dans son Mémoire sur quelques 
constructions graphiques des orbites planétaires. V. les Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles , 
tom, III. 
