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NOTES. 
â serait susceptible d’une (»■+-1 )' eme valeur, égale à n, mais qui conduirait à l’identité 
a -+- b 4 - c... 
a -4" b 4~ C 4- . » ■ -— ( U 4- 1 ) --- j 
n 4-1 
voilà pourquoi nous avons réduit à n le nombre des valeurs de d. 
Deuxième théorème : Étant données dans un plan m droites, et autant de quan¬ 
tités a, b, c,.... ; 
n étant un nombre quelconque plus petit que m, on pourra trouver (n 4 - 1 ) autres 
droites, telles que si Von prend un point quelconque M dans le plan de ces droites, 
et quon appelle Ma , MSles perpendiculaires abaissées de ce point sur les droi¬ 
tes données, et Ma' , MS', . celles abaissées sur les droites trouvées, on aura entre 
ces perpendiculaires les —, ou \ relations, déterminées par la formule 
aMa.^ 4 -bMê n - U) 4- .... = (!7 (n - W) 4- MC' (n ~ V) + ....) 1 :’ , 
n 4-1 
où $ peut avoir les valeurs 0, 1 , 2 ,.... , si n est impair , et les j va¬ 
leurs 0,1, 2, . ~y~> si n est pair. 
Si l’on fait d= o, on aura le théorème exprimé par les propositions 49 et 53 de 
Stewart. 
Les autres valeurs de â donneront d’autres relations, qu’on pourrait énoncer aussi 
comme autant de théorèmes différons; mais qui cependant auront lieu toutes ensemble; 
et cela, quelle que soit la position du point M. 
Jusqu’ici les théorèmes de Stewart, compris dans les deux théorèmes généraux que 
nous venons d’énoncer, sont restés, je crois, sans application, et comme des propriétés 
isolées d’un système de points, ou d’un système de droites. On peut penser cependant 
que ces systèmes doivent jouir d’autres propriétés du même genre que ces premières , et 
se rattachant toutes à une même théorie. J’aurais quelques raisons, par exemple, de 
supposer qu’un système de points donnés, et le système des points déterminés suivant 
le premier théorème en question, jouissent des propriétés communes aux systèmes de 
quatre points qui sont les extrémités de deux diamètres conjugués d’une ellipse. Du 
moins je formerai de tels systèmes de points en nombre quelconque ( systèmes particu¬ 
liers, il est vrai, c’est-à-dire assujétis à une loi déterminée), qui présenteront toutes ces 
propriétés. 
Malgré cette première analogie, je puis me tromper dans mes conjectures. Quoi qu’il 
en soit, on reconnaîtra, je crois, que les théorèmes de Stewart ne sont que les premiers 
pas dans un champ de recherches nouvelles qui mériteraient d’occuper l’esprit des 
géomètres. 
