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NOTES. 
La construction des deux axes principaux de l’hyperbole est extrêmement facile ; car on 
sait que si, par l’extrémité A du demi-diamètre a, on mène une parallèle au diamètre 
conjugué, elle sera tangente à l’hyperbole; et si sur celte droite on prend, de part et 
d’autre du point de la courbe, deux segmens égaux à b , leurs extrémités seront sur les 
deux asymptotes. Tirant donc ces deux asymptotes, et divisant en deux également l’angle 
qu’elles font entre elles, et son supplément, on aura les directions des deux axes principaux 
de l’hyperbole. 
Ainsi le problème est résolu très-simplement. 
Pour transporter cette solution au cas de l’ellipse, par application du principe des 
relations contingentes, il faut y remplacer la considération des parties contingentes de 
la figure, qui nous ont servi, et qui sont les asymptotes, par la considération de quel- 
qu’autre propriété de la figure, qui subsiste dans le cas de l’ellipse. 
Regardons les deux points où la tangente à l’hyperbole rencontre les deux asymptotes, 
comme les foyers d’une conique G, passant par le centre de l’hyperbole; les asymptotes 
seront les deux rayons vecteurs de cette conique; par conséquent les deux axes principaux 
de l’hyperbole, lesquels divisent en deux également l’angle et son supplément, formés par 
ces deux rayons vecteurs, seront, l’un la tangente, et l’autre la normale à cette conique C. 
Ainsi nous pouvons dire que la conique G, menée par le centre de l’hyperbole, est tangente 
à l’un de ses axes principaux. A raison de celle propriété, la conique G servira pour la con¬ 
struction des directions des deux axes principaux de l’hyperbole, et remplacera, pour cet 
objet, les deux asymptotes qui nous avaient servi d’abord. 
Mais cette conique G , à laquelle nous a conduit la considération des deux asymptotes, 
peut être construite sans faire aucun usage de ces deux droites ; car nous connaissons la 
direction de ses deux axes principaux qui sont la tangente et la normale à l’hyperbole au 
point A, et son excentricité dirigée suivant la tangente, laquelle excentricité est égale à 
b, c est-à-dire au diamètre b\/ —1 de l’hyperbole divisé par b 7 —1. L’autre excentricité de 
la conique C sera dirigée suivant la normale, et égale à la première multipliée par V — 1 ; 
c’est-à-dire à bV—1 *. On a donc ce théorème : 
Si V on regarde la tangente et la normale en un point A d’une hyperbole, comme 
les axes principaux d’une conique qui passerait par le centre de Vhyperbole, et 
qui aurait son excentricité, dirigée suivant la normale , égale précisément au dia¬ 
mètre conjugué de celui qui aboutit au point A, cette conique sera nécessairement 
tangente à l’un des deux axes principaux de l’hyperbole. 
Ce théorème exprime une propriété générale de l’hyperbole, indépendante des asymp¬ 
totes, quoi qu’elles nous aient servi à la démontrer. Toutes les parties de la figure que 
comporte celte propriété générale se retrouvent dans l’ellipse, nous pouvons donc, d’après 
le principe des relations contingentes, appliquer celle propriété à l’ellipse; ainsi nous 
dirons que : 
1 Nous supposons qu’une conique a quatre foyers, dont deux réels et deux imaginaires; et deux excentricités, 
dont une réelle et l’autre imaginaire; les carrés de ces deux excentricités étant égaux et de signes contraires. 
