NOTES. 
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Si l’on regarde la tangente et la normale en un point d’une ellipse comme les 
axes principaux d’une conique qui passerait par le centre de l’ellipse , et qui aurait 
son excentricité , prise sur la normale , égale au diamètre conjugué de celui qui 
aboutit au point pris sur l’ellipse, cette conique sera tangente à l’un des deux axes 
principaux de l’ellipse. 
L’excentricité située sur la normale sera réelle, puisque le diamètre auquel elle est 
égale est réel ; les deux foyers de la conique seront donc sur la normale à l’ellipse. Les 
rayons vecteurs menés de ces deux foyers au centre de l’ellipse feront des angles égaux 
avec celui des deux axes principaux auquel la conique est tangente. On en conclut donc 
ce théorème : 
Si, sur la normale en un point d’une ellipse, on prend, de part et d’autre de ce 
point, deux segmens égaux au demi-diamètre conjugué de celui qui aboutit à ce 
point, et que, des extrémités de ces deux segmens, on tire deux droites au centre 
de l’ellipse, ces deux droites seront également inclinées sur l’un des deux axes 
principaux de l’ellipse. 
Ce théorème donne, comme on voit, une construction extrêmement simple de la 
direction, des deux axes principaux d’une ellipse dont on connaît deux diamètres conju¬ 
gués. 
Il nous reste à trouver la longueur de ces axes principaux. Plusieurs manières se pré¬ 
sentent. 
D’abord, on peut projeter orthogonalement les deux demi-diamètres conjugués donnés, 
sur un des axes principaux ; la somme des carrés de leurs projections sera égale au carré 
de cet axe principal. 
On peut encore se servir de ce théorème, extrêmement facile à démontrer : 
Si par un point d’une conique on mène la normale ; le produit des segmens faits 
sur elle par le diamètre qui lui est perpendiculaire , et par un des axes princi¬ 
paux , est égal au carré du demi autre axe principal. 
Cette relation fait connaître les deux axes principaux. 
Mais on peut obtenir une expression des longueurs de ces axes, sans connaître à priori 
leurs directions. 
Pour cela remarquons que si, sur la tangente et la normale à la conique, considérées 
comme axes principaux, on construit une seconde conique qui passe par le centre de la 
première, et soit tangente, en ce point, à un axe principal de cette première conique, 
les segmens faits sur la normale, par sa perpendiculaire abaissée du centre de la première 
conique, et par cet axe principal qui est tangent à la seconde conique, auront leur pro¬ 
duit égal au carré du demi-axe principal de la seconde conique dirigé suivant cette nor¬ 
male; cet axe principal sera donc égal au second axe principal de la conique proposée, 
lequel est normal à la seconde conique ; on a donc ce théorème : 
Si l’on prend la tangente et la normale en un point d’une conique pour axes 
principaux d’une seconde conique qui passe par le centre de la première , et qui 
soit normale en ce point à l’un des axes principaux de cette première conique, 
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