NOTES. 
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Maintenant regardons cette hyperbole comme la conique excentrique 1 d’une surface 
du second degré qui passerait par le centre de l’hyperboloïde. Cette surface sera normale 
à l’un des axes principaux du cône 2 , qui sont les mêmes que ceux de l’hyperboloïde. Mais 
l’un des axes principaux de cette nouvelle surface est dirigé suivant la normale à l’hyper- 
boloïde au point m, et les deux autres suivant les diamètres principaux de la conique 2, 
lesquels sont les tangentes aux lignes de courbure de l’hyperboloïde. Nous pouvons donc 
énoncer ainsi le théorème, en faisant abstraction du cône asymptote : 
Si, en un point d’un hyperboloide a une nappe, on mene sa normale, et les tan¬ 
gentes à ses lignes de courbure, et qu’on regarde ces trois droites comme les axes 
principaux d’une surface du second degré qui passerait par le centre de l’hyperbo¬ 
loïde , et qui aurait pour normale en ce point l’un des trois axes principaux de cet 
hyperboloide , la conique excentrique de cette surface, comprise dans le plan tangent 
à l’hyperboloïde, aura les carrés de ses diamètres égaux, et de signes contraires, 
aux carrés des diamètres parallèles de l’hyperboloide. 
Ce théorème, par le principe des relations contingentes, s’applique aux deux autres 
surfaces douées d’un centre; on a donc cette propriété de l’ellipsoïde. 
Si l ’on regarde la normale en un point m d un ellipsoïde et les deux tangentes 
à ses lignes de courbure en ce point, comme les trois axes principaux d une sur¬ 
face du second degré qui passerait par le centre de l ellipsoïde et aurait pour 
normale en ce point l’un des trois axes principaux de cet ellipsoïde, la conique ex¬ 
centrique de cette surface, comprise dans le plan tangent a l ellipsoïde, aura les 
carrés de ses diamètres égaux, et de signe contraire, aux carrés des diamètres 
parallèles de l’ellipsoïde. 
Cette conique excentrique sera imaginaire; mais elle servira néanmoins pour construire 
les deux autres coniques excentriques qui seront réelles. 
En effet soient — A 2 et — e 2 les carrés des deux demi-axes principaux de cette conique 
( b et c étant les deux demi-axes principaux de la courbe d’intersection de l’ellipsoïde par 
un plan parallèle à son plan tangent au point m) ; soit b > c; — c 2 est plus grand que 
— b 2 , et les foyers de la conique imaginaire sont situés sur l’axe c. 
Sur la normale à l’ellipsoïde, on portera, à partir du point m, deux segmens égaux 
respectivement à A et à c; 
Dans le plan déterminé par cette normale et une parallèle à l’axe c , on décrira une 
ellipse qui ait pour demi-grand axe, le segment égal à b, et pour excentricité le segment 
égal à c ; 
Dans le plan déterminé par la normale et une parallèle à l’axe A, on décrira une 
de l’hyperboloïde, parallèle à cette tangente ; parce que le plan mené par cette tangente et ce diamètre coupe 
l’hyperboloïde suivant une hyperbole. 
1 II est nécessaire , pour l’intelligence de ce qui va suivre, de prendre une connaissance préalable de la 
Note XXXI, où nous expliquons ce que nous entendons par coniques excentriques d’une surface du second degré, 
et faisons connaître diverses propriétés de ces courbes. 
2 Voir Note XXXI, art. 11. 
