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NOTES. 
hyperbole qui ait pour demi-axe transverse le segment c et pour excentricité le seg¬ 
ment h. 
L’ellipse et l’hyperbole ainsi construites seront les deux courbes cherchées, c’est-à- 
dire les deux coniques excentriques d’une surface du deuxième degré qui, passant par 
le centre de l’ellipsoïde, aurait pour normale en ce point l’un des axes principaux de 
l’ellipsoïde. Par conséquent les deux cônes qui auront pour bases respectivement ces 
deux coniques, et pour sommet commun le centre de l’ellipsoïde, auront pour axe prin¬ 
cipal commun cet axe principal de l’ellipsoïde (Note XXXI, art. 11). Les deux autres 
axes principaux communs aux deux cônes seront pareillement les deux autres axes prin¬ 
cipaux de l’ellipsoïde, parce que par son centre on peut faire passer deux autres surfaces 
du deuxième degré ayant pour coniques excentriques les deux mêmes courbes trouvées, 
et qui seront normales respectivement à ces deux axes principaux de l’ellipsoïde. La ques¬ 
tion de la construction des directions des trois axes principaux de l’ellipsoïde se réduit 
donc à trouver les trois axes principaux qui sont communs aux deux cônes qui ont pour 
bases les deux coniques en question; ces trois axes principaux forment, dans l’un et l’autre 
cône, un système de trois axes conjugués; il faut donc chercher le système de trois axes 
conjugués communs aux deux cônes. 
On conclut de là que : 
Étant donnés trois diamètres conjugués d’un ellipsoïde ; pour trouver la direction 
de ses trois axes principaux , par l’extrémité A d’un des diamètres donnés, on mè¬ 
nera une droite perpendiculaire au plan des deux autres , sur laquelle on prendra, 
à partir du point A , deux segmens égaux respectivement aux deux demi-axes prin¬ 
cipaux de l’ellipse construite sur ces deux diamètres conjugués. Soit b le plus grand 
de ces deux axes , et c le plus petit ; 
On mènera , par la normale, deux plans, dont l’un parallèle au diamètre c, et 
l’autre parallèle au diamètre b; 
On construira , dans le premier plan, une ellipse qui ait pour demi grand axe le 
segment b et pour excentricité le segment c; et dans le second plan , une hyperbole 
qui ait pour demi-axe principal le segment c , et pour excentricité le segment b; 
On regardera le centre de l’ellipsoïde comme le sommet commun de deux cônes 
ayant pour hases respectivement cette ellipse et cette hyperbole ; 
Ces deux cônes se couperont suivant quatre arêtes, qui seront deux à deux dans six 
plans ; lesquels plans se couperont deux à deux suivant trois autres droites ; 
Ces trois droites seront les trois axes principaux de l’ellipsoïde. 
Pour déterminer la longueur de ces axes principaux, on peut projeter orthogonale- 
ment sur chacun d’eux les trois diamètres conjugués donnés ; le carré de chaque axe sera 
égal à la somme des carrés des trois projections faites sur lui. 
Mais il sera plus simple de faire usage du théorème suivant, que l’on démontre très- 
aisément : 
La normale en un point m d’une surface du deuxième degré rencontre le plan dia¬ 
métral qui lui est perpendiculaire, et un des plans principaux P, en deux points dont 
