NOTES. 
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le produit des distances au point m est égal au carré du demi-diam'etre de la surface, 
gui est normal au plan principal P. 
On peut encore déterminer les longueurs des axes principaux de l’ellipsoïde sans con¬ 
naître leurs directions; en construisant trois surfaces dont les axes majeurs sont égaux 
respectivement à ces trois axes principaux. Cela dépend d’un théorème que nous allons 
démontrer. 
La surface qui a pour axes principaux la normale et les tangentes aux lignes de cour¬ 
bure de l’ellipsoïde au point m , et qui passe par le centre de cet ellipsoïde et touche en 
ce point l’un de ses plans principaux, cette surface, dis-je, a le carré de son demi-axe dirigé 
suivant la normale égal au produit des segmens faits sur cette normale, à partir du 
point m, par le plan principal et le plan diamétral perpendiculaire à cette normale '. 
Donc, d’après le théorème que nous venons d’énoncer ci-dessus, cet axe de la surface 
est égal à l’axe de l’ellipsoïde perpendiculaire au plan principal. On a donc ce théorème : 
Quand deux surfaces du second degré sont telles que chacune d’elles ait son centre 
sur l’autre et ses trois axes principaux dirigés suivant la normale et les deux tangen¬ 
tes aux lignes de courbure de cette autre , l’axe de la première surface dirigé suivant 
la normale à la seconde est égal à l’axe de la seconde surface dirigé suivant la nor¬ 
male à la première. 
On conclut de là que : 
Si l’on regarde la normale en un point d’une surface du second degré , et les tan¬ 
gentes aux deux lig?ies de courbure en ce point, comme les trois axes principaux 
communs à trois surfaces passant par le centre de la proposée, et tangentes respecti¬ 
vement à ses trois plans diamétraux, les axes principaux de ces trois surfaces , diri¬ 
gés suivant la normale à la proposée , seront égaux respectivement aux trois axes 
principaux de cette surface. 
Quand la surface proposée est un ellipsoïde déterminé seulement par trois diamètres 
conjugués, nous avons vu comment on détermine les coniques excentriques communes 
aux trois autres surfaces, ce qui suffit pour la construction de ces surfaces; ce dernier 
théorème pourrait donc servir, à la rigueur, pour résoudre la question de déterminer les 
longueurs des trois diamètres principaux de l’ellipsoïde, sans connaître leurs directions. 
Mais cette manière serait difficile et peu praticable. Néanmoins le théorème sur lequel 
elle repose nous a paru mériter d’être connu, comme exprimant une belle propriété 
générale des surfaces du deuxième degré. 
Les théorèmes précédens conduisent, sans difficulté, à plusieurs autres qui offrent 
quelqu’intérêt. 
Par l’extrémité m d’un des trois diamètres conjugués, menons deux droites égales et 
i Cela résulte de ce théorème, connu dans la théorie élémentaire des surfaces du second degré, que « le plan 
tangent en un point de la surface et le plan mené par ce point perpendiculairement à l’un des trois diamètres 
principaux, font sur ce diamètre , à partir du centre de la surface, deux segmens dont le produit est égal au 
carré du demi-diamètre. » 
