NOTES. 
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dire que l’emploi du mot imaginaire est une manière abrégée de s’exprimer, et qui signifie 
que les raisonnemens que l’on fait s’appliquent à un autre état général de la figure, 
dans lequel les parties sur lesquelles on raisonne existeraient réellement, au lieu d’y être 
imaginaires comme dans la figure proposée. Et comme, d’après le principe des relations 
contingentes, ou si l’on veut, d’après le principe de continuité, les vérités démontrées 
pour l’un des deux états généraux de la figure s’appliquent à l’autre état, on voit que l’em 
ploi et la considération des imaginaires se trouvent complètement justifiés. 
Nous devons faire ici une observation importante. La voici : 
Etant donnée une figure, dans laquelle se trouvent des parties imaginaires, on peut 
toujours, d’après ce que nous venons de dire, en concevoir une autre, de construction 
aussi générale que la première, et dans laquelle ces parties qui étaient d’abord imagi¬ 
naires, sont réelles; mais, et c’est en cela que consiste notre observation, il n’est jamais 
permis de raisonner, ni d’opérer sur la première figure elle-même, en y regardant 
comme réelles, certaines parties qui y sont imaginaires. Par exemple, si une expression 
donnée par le calcul, pour déterminer un point sur une droite, est imaginaire, ce point 
sera lui-même imaginaire ; et on commettrait une faute très-grave en construisant ce 
point comme si son expression était réelle. Le point ainsi construit n’appartiendrait point 
à la figure, ni à la question proposée; et tous les résultats déduits de la considération fie 
ce point seraient empreints d’erreurs. 
Ainsi, dans chaque système de diamètres conjugués de l’hyperbole, les directions des 
deux diamètres sont réelles ; mais la longueur de l’un des deux diamètres est toujours 
imaginaire ; le carré de cette longueur est réel, et les propriétés générales de l’ellipse, où 
n’entrent que les carrés des diamètres conjugués, s’appliqueront à l’hyperbole comme à 
l’ellipse; mais celles des propriétés dont il s’agit, où ces longueurs ne sont employées 
qu’au premier degré, n’auront plus d’application dans l’hyperbole, parce que si l’on vou¬ 
lait construire l’axe imaginaire de l’hyperbole en le supposant réel, on commettrait une 
erreur; la ligne ainsi construite, et le point qui serait son extrémité, n’appartiendraient 
pas à la figure, ni à la question proposée, mais bien à une autre figure et à une autre ques¬ 
tion. 
Ce serait une chose intéressante, de rechercher les rapports et la corrélation qui peuvent 
avoir lieu entre les propriétés de deux figures, dans l’une desquelles on a construit, 
comme étant supposées réelles, des parties qui dans l’autre sont imaginaires '. Tels 
sont l’hyperbole équilatère, et le cercle décrit sur son axe principal comme diamètre. 
Toute corde du cercle, perpendiculaire à cet axe, a son carré réel: si son pied sur l’axe 
est dans l’intérieur du cercle, cette corde a aussi sa longueur réelle; mais si son pied est 
au dehors du cercle, cette longueur est imaginaire, bien que son carré soit réel ; si on la 
construit en la supposant réelle, son extrémité déterminera un point qui appartiendra à 
une hyperbole équilatère. Et la corde en question jouira de propriétés différentes, suivant 
1 Ce qui revient, en analyse , à changer \/+1 en |/—1, ou, plus généralement, 1 unité en 1 une de ses 
racines, dans certains termes des formules appartenant à la question proposée. 
Tout. XL 
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