NOTES. 
373 
qvic cette théorie peut offrir de satisfaisant aux géomètres qui aiment à rechercher la plus 
grande généralisation possible, c’est que toutes ces questions ne sont elles-mêmes dans 
leur généralité , que les corollaires d’une seule , qui les comprend toutes dans son énoncé 
et dans sa solution ; la voici : 
Problème.— Étant données quatre surfaces du second degré inscrites dans une même 
surface du second degré E , décrire mie surface du même degré qui louche les quatre 
premières , et qui soit, comme elles, inscrite dans la surface E, 
La solution de ce problème est extrêmement simple; mais pour la présenter avec 
netteté et précision , il nous sera utile d’admettre quelques définitions : 
Quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans une même surface du second 
degré, elles se coupent suivant deux courbes planes, réelles ou imaginaires, mais dont 
les plans sont toujours réels; nous appellerons ces plans, par analogie avec la dénomina¬ 
tion d’axes de symptose dans les coniques, plans de symptose des deux surfaces. 
Les deux surfaces jouissent aussi de la propriété, qu’on peut leur circonscrire deux cônes 
du second degré; réels ou imaginaires, mais dont les sommets sont deux points toujours 
réels. Nous nous servirons,pour désigner ces deux points, de l’expression de centres 
d’homologie des deux surfaces, employée par M. Poncelet. 
Nous appellerons droite de symptose des deux surfaces, toute droite comprise dans 
l’un de leurs deux plans de symptose, et plan d’homologie, tout plan mené par l’un de 
leurs deux centres d’homologie. 
Maintenant concevons trois surfaces du second degré , inscrites dans une même surface 
du même degré , elles auront, deux à deux, deux plans de symptose ; en tout six plans de 
symptose. 
On démontre que ce# six plans passent , trois par trois , par quatre droites ; et que 
les quatre droites concourent en un même point de l’espace. 
De sorte que les six plans de symptose sont les quatre faces au sommet, et les deux 
plans diagonaux d’une pyramide quadranguiaire. 
Nous dirons que chacune des quatre droites par lesquelles passent, trois à trois, les six 
plans de symptose, est une droite de symptose commune aux trois surfaces; et qu’un 
point quelconque de l’une de ces quatre droites est un point de symptose commun aux 
trois surfaces. 
Considérons les centres d’homologie des trois surfaces : prises deux à deux, elles en ont 
•leux; ce qui fait six centres d’homologie. 
On démontre que ces six centres d’homologie sont, trois pas' trois , sur quatre droites, 
et que ces quatre droites sont dans un même plan. 
De sorte que les six centres d’homologie sont les quatre sommets et les deux points de 
concours des côtés opposés d’un quadrilatère. 
Nous appellerons droite d’homologie commune aux trois surfaces, chacune des quatre 
droites sur lesquelles sont, trois à trois, les six centres d’homologie des trois surfaces, et 
plan d’homologie commun aux trois surfaces, tout plan mené par l’une de ces quatre 
droites. 
