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NOTES. 
Concevons quatre surfaces du second degré , inscrites dans une même surface du second 
degré. 
On démontre que ces quatre surfaces ont huit points de symptose qui leur sont 
communs ; c’est-à-dire qu’il existe dans l’espace huit points , dont chacun se trouve sur 
un plan de symptose de chaque combinaison des quatre surfaces deux à deux. 
De sorte que chacun de ces huit points est le point d’intersection commun à six des 
douze plans de symptose qu’on obtient en combinant les quatre surfaces deux à deux. 
De même, on démontre que les quatre surfaces ont huit plans d’homologie communs ; 
c’est-à-dire qu’il existe huit plans, dont chacun passe par un centre d’homologie des 
quatre surfaces prises deux à deux. 
De sorte que chacun de ces huit plans contient six des douze centres d’homologie, 
qu’on obtient en combinant les quatre surfaces deux à deux. 
Tout ceci admis, nous pouvons donner un énoncé facile de la solution du problème 
proposé. 
Première solution. On construira les htiit plans d’homologie communs aux quatre 
surfaces, et leurs huit points de symptose communs. 
On prendra, par rapport à Tune quelconque A des quatre surfaces, les pôles des huit 
plans d’homologie, et on joindra par une droite, chacun de ces pôles à chacun des huit 
points de symptose; on aura ainsi soixante-quatre droites, qui rencontreront la surface 
A en cent vingt-huit points ; dont chacun sera le point de contact d’une surface cherchée 
avec la surface A. 
Seconde solution. Après avoir construit, comme pour la première solution, les huit 
points de symptose, et les huit plans d’homologie communs aux quatre surfaces, on 
prendra les plans polaires de ces huit points de symptose , par rapport à l’une quelconque 
A des quatre surfaces; ces huit plans polaires rencontreront chacun des huit plans 
d’homologie suivant huit droites; on aura ainsi soixante-quatre droites, par chacune 
desquelles on mènera deux plans tangens à la surface A.' Chaque point de contact des 
cent vingt-huit plans tangens ainsi menés , sera le point où hune des surfaces cherchées 
touchera la surface A. 
On voit, par chacune de ces deux constructions, que le problème admet, dans sa plus 
grande généralité, cent vingt-huit solutions. 
Il est utile de remarquer, pour la discussion des cas particuliers, très-nombreux, 
renfermés dans ce problème général, et pour lesquels le nombre des solutions peut 
diminuer considérablement, que ces solutions sont données seize à seize par chaque plan 
d’homologie, ou par chaque point de symptose commun aux trois surfaces. De sorte qu’il 
s’évanouira autant de fois seize solutions, qu’il manquera de plans d’homologie, ou de 
points de symptose communs aux quatre surfaces. 
Par exemple, si les quatre surfaces sont des sphères, elles n’auront qu’un point de 
symptose (c’est le point que M. Gaultier a appelé centre radical des quatre sphères.) Il n’y 
aura donc que seize solutions. 
Il peut paraître étonnant, au premier abord, que quatre sphères situées d’une manière 
