NOTES. 
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cité des deux courbes consiste en ce que la première se forme de la seconde, comme 
celle-ci s’est formée de la première. (Voir Correspondance sur l’école Polytechnique , 
tom. I er , pag. 73, ann. 1805.) 
Le Mémoire de Monge sur les surfaces réciproques se trouve indiqué dans une liste 
de ses différens mémoires, placée au commencement de son Application de l’analyse à 
la Géométrie (troisième édit., ann. 1809). Il devait faire partie des mémoires de l’Institut 
année 1808; mais je crois qu’il n’a point été publié. Au titre de ce mémoire est jointe, 
en ces termes, la définition des surfaces réciproques : 
« x, y, z, étant les coordonnées d’un point d’une surface courbe, pour lequel on a 
» l’équation différentielle dz—pdx -+- qdy , les coordonnées x , y', z' de son point ré- 
» ciproque ont pour expressions 
y' — q, z'=px + qy — z. 
» Le lieu de tous ces points réciproques est la surface réciproque de la surface pro- 
» posée. La réciprocité de ces deux surfaces consiste en ce que la première surface est 
» le lieu des points réciproques de la seconde, comme la seconde est le lieu des points 
» réciproques de la première. » 
C’est-à-dire, que les valeurs de x, y, z en x', y', z' auront la même forme que celles 
de x', y', z' en x, y, z. Et en effet on trouve 
*=P'> V— fi z = P' æ ' -+- ?Y — z\ 
On reconnaît à l’inspection de ces formules que à chaque plan tangent de la première 
surface, correspond un point de la seconde; et que, quand ces plans tanyens passent 
par un même point, ces points , qui leur correspondent, sont sur un même plan. 
En effet, le plan tangent au point [x, y, z ) de la première surface est déterminé par 
les valeurs des coordonnées de ce point et les valeurs des deux coefficiens différentiels /> 
et q. Ces valeurs donnent aussi la position du point [x', y’, z') qui correspond à ce plan 
langent. 
Maintenant, si ce plan tangent, dont l’équation est 
z — Z=p(x — X) q{y — Y), 
passe par un point fixe (a, 6, y) , on aura entre les coordonnées de son point de contact 
(x, y, z ), la relation 
z — <y — p{x — a ) -4- q[y — £). 
Substituant dans cette équation les valeurs de x,y, z en x’, y', z', q)' et q', on a 
z' -4- <y = ax' - 4 - £y' , 
équation d’un plan, comme il fallait le trouver. 
Ainsi les surfaces réciproques de Monge peuvent être considérées comme des trans¬ 
formées l’une de l’autre suivant le principe de dualité. 
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