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NOTES. 
Et en effet ces surfaces sont tout simplement polaires réciproques par rapport au 
paraboloïde de révolution qui a pour équation 
-+- y 2 — a ' 
Cette construction géométrique des surfaces de Monge fait -voir qu’elles ne sont qu’un 
cas particulier d’une classe générale de surfaces réciproques, qu’on peut exprimer ana¬ 
lytiquement comme celles-là, et qui, considérées géométriquement, sont des polaires 
réciproques par rapport à une surface du second degré quelconque. 
Il est à regretter que le mémoire de Monge n’ait pas été publié. Il eût été intéressant 
de connaître la voie qui l’a conduit à l’invention de ses surfaces réciproques, et préci¬ 
sément de celles dont l’expression analytique est la plus simple parmi une infinité d’au¬ 
tres; de savoir si c’est la théorie des pôles dans les surfaces du second degré qui a guidé 
ce grand géomètre; et surtout quel usage il faisait de la considération de ses surfaces 
réciproques. 
Nous savons que les courbes réciproques lui ont offert un moyen de ramener aux 
quadratures l’intégration des équations différentielles à deux variables, de la forme 
y — p +• fp, F et f étant des fonctions quelconques de p = —• 
D’après cela, il est naturel de penser que Monge a imaginé pour le même usage les 
surfaces réciproques; et qu’elles lui ont servi à intégrer des équations aux différences 
partielles à trois variables. 
Et en effet, on reconnaît qu’elles peuvent être propres pour cet usage. 
Soit, par exemple, à intégrer l’équation aux différences partielles 
F(®j y, z, p, q) — o; 
On la regardera comme appartenant à une surface A, c’est-à-dire, que son intégrale se¬ 
rait l’équation de la surface A. 
A l’équation différentielle proposée correspondra une équation appartenant à une sur¬ 
face A' réciproque de A; cette équation sera 
F (p r , q\ v' x ’ -+- ?y — x '> y') = ». 
Si cette équation, qui est différente de la proposée, est intégrable, on obtiendra par 
l’intégration une équation f [x ', y', z')—o, qui sera l’équation finie de la surface A'. 
On passera de cette équation, par la voie de l’élimination, à l’équation de la surface 
réciproque de A', qui sera la surface A; celte équation sera donc l’intégrale de l’équation 
proposée. 
Si l’équation proposée contenait les coefficiens différentiels du second ordre 
d 2 z d*z d’z 
dx ’ dxdij ' dxf , 
Sa méthode serait la même. On passerait à l’équation différentielle en x',y ', z',p ', q' , r, s', t', 
