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NOTES. 
Cette difficulté doit faire regretter rivement que le travail de Monge, qui avait déjà tant 
contribué aux progrès de la science dans ce genre d’analyse si épineuse, ne nous soit pas 
parvenu. 
Nous avons dit que les surfaces réciproques de Monge étaient, parmi les surfaces po¬ 
laires réciproques, celles dont l’expression analytique était la plus simple. Nous devons 
ajouter qu’il est une autre espèce de surfaces réciproques, analogues à celles de Monge, 
qui sont d’une égale simplicité dans leur expression analytique, mais qui ne font pas 
partie des surfaces polaires. 
Voici les relations de ces nouvelles surfaces réciproques : 
x, y, z étant les coordonnées d’un point d’une première surface, et x', yz', les 
coordonnées du point correspondant de la surface réciproque, on aura 
x' = q, 
y’ = 
! 
b» 
if 
— px - 
- qy ■+■ 
x~q', 
y = 
1 
ta 
II 
— p'x' 
— q'y' 
Ces formules pourront servir, comme celles de Monge , pour l’intégration des équations 
aux différences partielles; et il pourra arriver qu’elles conviennent dans des cas où les 
autres ne conviendraient pas, c’est-à-dire, ne conduiraient pas à une équation intégrable. 
Car l’équation proposée étant 
f (*> yy 2, p, q) — o, 
on la transforme, par les formules de Monge en celle-ci : 
F (p', q', p'x' •+• q'y’ — z', x', y') = o; 
Et par les nouvelles formules, en la suivante : 
F {q', —p', — p'x'—q'y' -hz', ----- y’, x ') —ri. 
11 est possible que cette seconde équation se prête plus facilement aux méthodes d’inté¬ 
gration que la précédente. 
Les relations des coefficiens différentiels du second ordre sont aussi simples que dans 
les formules de Monge. On les obtient en différentiant successivement les deux équations 
x — q, y~ — V i par rapport à ar,puis par rapport à y, et en regardant q et p comme 
fonctions de x' et y'. On a ainsi quatre équations , dont trois comportent la quatrième, 
et d’où l’on tire les expressions 
