NOTES. 
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Nos nouvelles surfaces réciproques ont entre elles, comme celles de Monge, une rela¬ 
tion géométrique qu’on peut exprimer de diverses manières. 
Nous nous bornerons à présenter la suivante : 
Une surface étant donnée, on pourra lui imprimer un mouvement infiniment petit, 
tel que les plans normaux aux directions que prendront ses différons points , pendant 
ce mouvement, seront précisément les plans tangens à la surface réciproque; 
Le mouvement à imprimer sera le résultat des deux mouvemens élémentaires simul¬ 
tanés ; dont le premier sera de révolution autour de l’axe des z regardé comme fixe, 
et le second de translation dans la direction de cet axe. 
Les surfaces réciproques de Monge, et les nouvelles dont nous venons de donner l’ex¬ 
pression analytique et la construction géométrique, sont, les unes et les autres, des cas 
particuliers de surfaces d’une expression analytique beaucoup plus générale, et dont la 
considération pourra servir, comme ces premières, à l’intégration des équations. 
Voici quelles sont les formules générales qui correspondent à ces surfaces : 
x , y , z , étant les coordonnées d’un point de la première surface , et p,q les deux coeffi- 
ciens différentiels 
dz dz 
dx ’ dy 
les coordonnées du point réciproque de la seconde surface seront 
, A'" ( px-\-qy — z) -4- A" — K'q — A p 
X = D'" (px + qy — z) -H D" — Wq — Dp’ 
B"' (px + qy — z) - 4 - B" — B 'q — B p 
^. V ~ D'" (pæ + qy — z) -4- D" — D'g — Dp ’ 
r C" (px - 4 - qy — z) -t- C" — C'q —Cp 
~ D"' (px -\-qy — z) -4- 1 )" — D 'q — Dp" 
A, B, G, D; A', B', C', D' ; A", B", C", D" et A'", B"', C'", D'", étant des coefficiens arbi¬ 
traires. 
Et l’on a réciproquement : 
(2) 
D (p'x'-i-q'y '— z 1 ) -4- C —B q' — A// 
D'" (px' -t- q'y' — z') + C/" — B "Y — A "'p' ’ 
D' (p’x' + q'y'—z') -t- C' — B Y — A Y 
D'" (p'x' -4- q'y' — z') + C'" — B"Y— A" Y ’ 
D" (p'x' -t- q'ty' — z’) -+- C" — B'Y — A "p' 
D'" (p’x’ -4- q'y' — z') -4- C'" — B" Y — A" Y ’ 
Les expressions de p', q, en x, y, .z^el celles dep, q, en x’, y , z ', sont d’un calcul assez 
