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NOTES. 
NOTE XXXI. 
(cinquième époque, § 48.) 
Propriétés nouvelles des surfaces du second degré, analogues à celles des 
foyers dans les coniques. 
§ 1. Propriétés des coniques excentriques d’une surface du second degré. 
(1) « La tangente et la normale, menées par chaque point d’une conique, vont rencon- 
» trer chacun des deux axes principaux de la courbe en deux points, qui sont conjugués 
» harmoniques par rapport à deux points fixes; 
» Ces deux points fixes sont réels sur le premier axe de la courbe; ce sont les deux 
» foyers ; et ils sont imaginaires sur le second axe » 1 . 
Yoici le théorème analogue dans les surfaces du second degré : 
La normale et le plan tangent , menés en un point quelconque d’une surface du 
second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la sur¬ 
face 2 , en un point et suivant une droite ; 
Ce point est toujours le pôle de la droite, par rapport à une certaine conique , située 
dans le plan principal ; 
Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse ; 
Sur le plan du grand et du petit axe , elle est une hyperbole ; 
Et sur le plan du moyen et du petit axe, elle est toujours imaginaire. 
(2) On peut encore considérer comme correspondant à la propriété des coniques que 
nous avons énoncée, le théorème suivant : 
Si, en chaque point d’une surface du second degré, on mène la normale à la 
surface , et les tangentes aux deux lignes de courbure qui se croisent en ce point, 
ces trois droites iront rencontrer chacun des trois plans diamétraux principaux de 
la surface en trois points qui seront tels que la polaire de chacun d’eux , prise par 
rapport à une certaine conique située dans ce plan, passera par les deux autres. 
(3) Les trois coniques que l’on obtient, soit par ce théorème, soit par le précédent, sont 
1 Ces deux points donnent Heu à deux foyers imaginaires sur le second axe. De sorte qu’on peut dire que la 
conique a quatre foyers, dont deux toujours réels , situés sur le grand axe, et deux toujours imaginaires, situés 
sur le petit axe. 
2 Nous supposons que la surface a un centre ; mais les théorèmes que nous allons énoncer s’appliqueront 
d’eux-mêmes aux paraboloïdes. 
