NOTES. 
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(art. 653 du Traité des fluxions ) ; et cette démonstration est directe, et ne nécessité 
pas, comme celle de Maclaurin, la connaissance préalable de l’attraction d’un ellipsoïde 
de révolution sur les points situés sur son axe de révolution. 
(43) On démontre aisément que : « Quand deux coniques ont les mêmes foyers, 
» si d’un point, pris sur l’un de leurs axes principaux, on leur mène deux tangentes, 
» les cosinus des angles qu’elles feront avec l’autre axe principal seront entre eux 
» comme les deux diamètres des coniques dirigés suivant cet axe. » 
Pareillement : 
Quand deux surfaces du second degré ont les mêmes coniques excentriques, si par 
une droite située dans l’un de leurs trois plans principaux on leur mène deux plans 
tangens, les cosinus des angles qu’ils feront avec l’axe principal perpendiculaire à 
ce plan seront entre eux comme les diamètres des surfaces dirigés suivant cet axe. 
(44) Ce théorème aurait pu résulter de l’analyse employée par M. Legendre dans son 
mémoire sur l’attraction des ellipsoïdes si ce célèbre géomètre eût cherché la signifi¬ 
cation géométrique des formules analytiques par lesquelles il lui a fallu passer pour ré¬ 
soudre directement cette question difficile. Mais nous croyons pouvoir dire que cette 
traduction, en langage ordinaire, des formules de M. Legendre, aurait conduit à beau¬ 
coup d’autres résultats inféressans. Ainsi l’on y aurait vu que les surfaces coniques dont 
il se sert pour représenter la marche de ses intégrales, ont toutes pour axes principaux 
communs ceux de la surface conique circonscrite à l’ellipsoïde attirant ; et que l’un de 
ces axes est précisément cette droite qui jouit d’une propriété de maximum, et qui joue 
un rôle important dans cette matière. Cette propriété de maximum est exprimée par 
M. Legendre analytiquement par une équation du troisième degré; en Géométrie elle 
signifie que : Si autour du point attiré on fait tourner une transversale et qu’on 
prenne la différence des valeurs inverses des distances de ce point aux deux points 
où la transversale rencontre la surface de l’ellipsoïde, cette différence sera un 
maximum quand la transversale aura pour direction celle d’un des trois axes 
principaux du cône circonscrit à l’ellipsoïde, et qui a pour sommet le point attiré. 
Et on trouve que quand cette différence, au lieu d’être un maximum, doit être con¬ 
stante, alors la transversale décrit un cône du second degré. Ce sont là les cônes dont 
M. Legendre s’est servi. Leur propriété commune est qu’ils passent tous par les courbes à 
double courbure du quatrième degré, qui sont les intersections d’un certain hyperbo- 
loïde à deux nappes par une série de sphères concentriques. 
(45) Nous ferons remarquer que tous les théorèmes que nous avons présentés jus¬ 
qu’ici sont de la plus grande généralité , à l’exception des deux derniers ; c’est-à-dire que 
dans ces théorèmes, les points, les plans, les droites, que l’on avait à considérer par rap¬ 
port aux surfaces du second degré, avaient des positions tout-à-fait arbitraires dans 
l’espace. Bans les deux derniers, au contraire, le point par lequel on mène les transver¬ 
sales est pris nécessairement sur l’un des axes principaux des surfaces, et la droite par 
1 Voir les Mémoires de VAcadémie des Sciences , ann. 1788. 
