NOTES. 
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Plusieurs surfaces qui ont les memes coniques excentriques peuvent être considérées 
comme étant toutes inscrites dans une même surface développable; 
Cette surf ice est imaginaire; et cependant deux de ses lignes de striction sont réelles; 
ce sont les deux coniques excentriques communes aux surfaces; les deux autres lignes 
de striction sont imaginaires, l’une est la troisième conique excentrique des surfaces 
( située dans le plan du petit et du moyen axe principal) , et Vautre est à l’infini. 
Ajoutons que : 
Les deux lignes de striction réelles peuvent être regardées comme des surfaces dont 
un axe est nul, et qui appartiennent à la série des surfaces proposées. 
(48) Ainsi : 
Des surfaces du second degré qui ont les mêmes coniques excentriques , et ces deux 
courbes, considérées comme des surfaces infiniment aplaties , jouissent de toutes les 
propriétés d’un système de surfaces du second degré inscrites dans une même surface 
développable. 
Ce théorème me paraît être le plus fécond et le plus important de toute la théorie des 
surfaces décrites des mêmes foyers. On en déduira aisément un grand nombre de pro¬ 
priétés de ces surfaces. 
(49) Un tel système de surfaces s’est présenté déjà dans diverses questions, et notam¬ 
ment , ce qui est assez remarquable, dans des questions de physique et de mécanique ; et 
l’on a été conduit ainsi à découvrir quelques-unes de leurs propriétés. Mais ces propriétés, 
peu nombreuses, sont restées isolées, sans qu’on ait cherché à les rattacher à quelque 
théorie relative aux surfaces du second degré en général, ni à quelque proposition fonda¬ 
mentale , comme celle que nous avons énoncée en dernier lieu. 
(50) Les théorèmes suivans sont des conséquences de cette proposition. 
Quand plusieurs surfaces du second degré ont mêmes coniques excentriques, si 
Von mène un plan transversal quelconque qui les rencontre suivant des coniques , et 
que ces courbes soient prises pour les lignes de contact d'autant de cônes circonscrits 
à ces surfaces respectivement, tous ces cônes auront leurs sommets sur une même 
droite , qui sera perpendiculaire au plan transversal. 
Ou, en d’autre termes, et plus généralement : 
Les pôles du plan transversal, pris par rapport aux surfaces, seront situés sur 
une même droite perpendiculaire à ce plan. 
(51) Comme les deux coniques excentriques des surfaces peuvent être regardées elles- 
mêmes comme deux surfaces infiniment aplaties, on en conclut cette propriété particu¬ 
lière de ces deux courbes : 
Étant données les deux coniques excentriques d’une surface du second degré . si Von 
mene un plan transversal quelconque, et qu’ on prenne, par rapport à chaque conique, 
le pôle de la trace de ce plan sur celui de cette courbe, la droite qui joindra ces deux 
pôles sera perpendiculaire au plan transversal. 
Et si ce plan transversal est tangent en un point de la surface du second degré , cette 
droite sera la normale à la surface en ce point. 
