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NOTES. 
NOTE XXXII. 
( CINQUIÈME ÉPOQUE , § 49). 
Théorèmes analogues, dans les surfaces du second degré, aux théorèmes de 
Pascal et de M. Brianchon dans les coniques. 
(1) Soit un hexagone inscrit dans une conique. Ses trois côtés de rang impair, pro¬ 
longés jusqu’à leur rencontre, forment un triangle; et les côtés de rang pair sont trois 
cordes de la conique, comprises respectivement entre les trois angles de ce triangle. Le 
théorème de Pascal exprime que ces trois cordes rencontrent respectivement les trois 
côtés opposés du triangle en trois points qui sont en ligne droite. 
On peut donc, pour exprimer le théorème de Pascal, substituer à la considération de 
l’hexagone celle d’un triangle tracé dans le plan d’une conique. 
C’est en envisageant sous ce point de vue ce théorème, que nous allons le transporter 
aux surfaces du second degré , où son analogue sera une propriété d’un tétraèdre dont les 
arêtes rencontrent une surface du second degré. 
(2) Yoici quel est ce théorème : 
Quand, les six arêtes d’un tétraèdre, placé d’une manière quelconque dans l’es¬ 
pace, rencontrent une surface du second degré en douze points; ces douze points 
sont trois à trois sur quatre plans, dont chacun contient trois points appartenant 
aux trois arêtes issues d’un même sommet du tétraèdre ; 
Ces quatre plans rencontrent respectivement les faces opposées à ces sommets, 
suivant quatre droites qui sont les génératrices d’un même mode de génération d’un 
hyperholoïde à une nappe. 
On peut former plusieurs systèmes de quatre plans qui contiennent, trois par trois, 
les douze points de rencontre des arêtes du tétraèdre et de la surface ; le théorème aura 
lieu pour chacun de ces systèmes. Par exemple , si les quatre sommets du tétraèdre sont 
dans l’intérieur de la surface, on pourra prendre les quatre plans en question de manière 
que chacun d’eux contienne les trois points où les arêtes issues de chaque sommet respec¬ 
tivement , et non les prolongemens de ces arêtes, rencontrent la surface. 
Cette propriété du tétraèdre, considéré par rapport à une surface du second degré, cor¬ 
respond , comme on voit , à la propriété du triangle tracé dans le plan d’un conique, qui 
est exprimée par le théorème de Pascal ; et c’est sous ce point de vue que nous présentons 
le théorème ci-dessus comme l’analogue , dans l’espace, de celui de Pascal. 
Si les six arêtes du tétraèdre sont tangentes à la surface du second degré, il n’y aura 
