NOTES. 
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Ces deux règles des géomètres grecs, sont exprimées par les deux formules : 
qu’on obtient en faisant successivement dans celle de Brahmegupta, b = 1 et b = 2. 
La formule de Brahmegupta peut prendre la forme : 
(a 2 ô 2 ) 2 — (a 2 — ô 2 y h- 4 a 2 b\ 
Cette formule a été très-usitée chez les géomètres modernes, où elle est le fondement 
de leurs méthodes pour la résolution des équations indéterminées du second degré. 
Brahmegupta s’en sert pour la construction du triangle isocèle dont les côtés et la per¬ 
pendiculaire sont des nombres rationnels. Voici sa règle : 
a et b étant deux nombres quelconques , (a 2 h- b 2 ) sera l’expression des deux 
côtés égaux du triangle, et 2 (a 2 — b 2 ) sera la base : la perpendiculaire sera 
2 abj § 33. 
Pour former un triangle scalène dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres 
rationnels, on aperçoit dans la règle algébrique de Brahmegupta, § 34, qu’il construit 
deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. Ce côté est la 
perpendiculaire du triangle scalène formé avec les autres côtés. 
Plusieurs géomètres modernes ont résolu de cette manière la même question ( voir 
les Commentaires de Bachet de Méziriac sur le VI e livre des Questions arithmétiques de 
Diophante, et les Sectiones triginta miscellaneœàe Schooten, p. 429). 
Nous avons reconnu que les deux propositions sur le triangle isocèle, et scalène sont 
utiles pour la construction que Brahmegupta donne, sous les § 36 et 37, pour le tétragone 
inscriptible au cercle, ayant deux ou trois côtés égaux. 
La formule 
(a 2 -t-ô 2 ) 2 = (a 2 — ô 2 ) 2 -4- 4a 2 ô 2 , 
qui a servi à Brahmegupta pour construire en nombre rationnels un triangle rectangle, 
quand un côté est donné, peut servir aussi pour le cas où l’hypoténuse est donnée, car 
soit c cette hypoténuse ; faisons b — 1 dans la formule, et multiplions ses deux mem- 
1 Boëce, en se servant aussi de ces deux formules, dans le 2 e livre de sa Géométrie, attribue la seconde à 
Àrchytas. 
