NOTES. 
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Il est toujours question, bien entendu, du trapèze et du lélragone inscriplibles au 
cercle. 
Pour obtenir cet énoncé, il suffit de supprimer le mot inexact ( gross), de remplacer 
tétragone par trapèze , et de faire passer le mot triangle dans la seconde phrase, en y 
introduisant celui de tétragone. Cette seconde phrase conserve sa signification primitive; 
et la première prend un sens clair, et devient une proposition assez belle qui, peut-être, 
n’avait point encore été remarquée. Sa démonstration est facile, caries deux diagonales 
étant à angle droit, il est évident que l'aire du trapèze est égale à la moitié du produit de 
1 unepai 1 autie. Mais ce produit, suivant le théorème de Plolémée sur le quadrilatère 
inscrit, dont Brahmegupta s’est évidemment servi dans la proposition du § 28 i, est égal 
à la somme des produits des côtés opposés. Donc la moitié de cette somme est l’aire du 
trapèze. 
On n’avait cité, jusqu’ici , du § 21, que la partie relative à la formule de l’aire du 
triangle en fonction des trois côtés : et l’on n’avait point fait attention à la formule de 
l’aire du quadrilatère inscrit au cercle, qui aurait mérité à tous égards la préférence sur 
la première; ni à cette proposition, qui déclare inexactes des règles identiques à celles 
qui ont été pratiquées par les Latins, puis parmi nous dans le moyen âge. 
La formule de 1 aire du triangle avait fait d autant plus de sensation dans l’ouvrage de 
Brahmegupta, qu’on ignorait généralement qu’elle eût été connue dans l’antiquité , par¬ 
ticulièrement des Grecs. Montucla, qui l’avait attribuée d’abord à Tartalea, n’en avait fait, 
ensuite, remonter l’origine qu’à Héron le jeune, écrivain du VII e siècle. Aussi M. De- 
lambre , en rendant compte de l’ouvrage de Brahmegupta, dans le discours qui précède 
son Histoire de Vastronomie au moyen âge, n’a trouvé d’autre objection à faire, dans 
l’intérêt des Grecs, contre celle formule du géomètre indien,si ce n’est que ce théorème 
très-curieux n est que d’une utilité fort médiocre en astronomie. Mais nous devons con¬ 
venir ici que ce théorème , qui est resté inaperçu dans l’histoire de l’école d’Alexandrie, 
y a été connu. On le trouve démontré dans un traité de géodésie de Héron l’ancien (deux 
siècles avant l’ère chrétienne), intitulé la Dioptre , ou le Niveau, que M. Venturi de 
Bologne, a traduit, il y a une vingtaine d’années, sous le titre il Traguardo , dans son 
histoire de l’optique 1 2 . M. Venturi a encore trouvé ce théorème, sans démonstration, dans 
un fragment de Géométrie d’un auteur latin qui lui a paru être antérieur à Boëce. Nous 
l’avons vu aussi dans un manuscrit du XI e siècle que possède la bibliothèque de Chartres. 
H y fait partie d’un traité de la mesure des figures, que nous croyons être le même écrit 
que cite M. Venturi; et que nous serions porté à attribuer à Frontinus. Ainsi la priorité, 
quant à la formule de l’aire du triangle, ne peut appartenir à Brahmegupta. Mais ce 
géomètre peut la céder, sans rien perdre de l’estime qu’elle avait fait accorder à son ou¬ 
vrage, puisque nous y trouvons la formule, beaucoup plus importante, de l’aire du 
1 Nous n’entendons pas dire que Brahmegupta a emprunté ce théorème de l’Almageste de Ptolémée; mais 
qu’il l’a connu , et qu’il s’en est servi pour parvenir à l’expression des diagonales du quadrilatère inscrit, qu’il 
donne dans le § 38. 
2 Commentari sopra la, storia e le teorie dell’ ottica. Bologna, 1814 , in-4°, p. 77-147, 
