440 
NOTES. 
il suffit de former, comme nous venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB, 
BOC, COD, DOA, et de les réunir ensemble. C’est ainsi que les scoliastes, particulière¬ 
ment Ganesa, dans ses notes sur l’ouvrage de Bbascara, ont compris la construction du 
quadrilatère ; et ont suppléé de la sorte à la condition d’inscriptibilité au cercle, que 
nous supposons avoir été dans les intentions de Brahmegupta. On conçoit dès lors com¬ 
ment Chaturveda a pu faire des applications numériques des règles de Brahmegupta, en 
ignorant cette condition d’inscriptibilité. 
Avec les quatre côtés d’un quadrilatère inscrit au cercle, on peut former deux autres 
quadrilatères qui seront inscrits dans le même cercle. Ainsi a, ë, y, d 1 , étant les quatre 
côtés, pris consécutivement, du quadrilatère, on peut les placer dans l’ordre a, ë, t?, y, 
ou bien dans l’ordre a, y, 6, <?. Ces trois quadrilatères ont, deux à deux, une même dia¬ 
gonale; de sorte que de leurs six diagonoles il n’y en a que trois différentes; les trois 
autres étant égales respectivement à ces trois premières b 
Si l’on applique cette remarque à la figure de Brahmegupta, les deux nouveaux qua¬ 
drilatères ne seront plus des trapèzes , c’est-à-dire, qu’ils n’auront plus leurs diagonales 
à angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles ; ainsi que toutes les autres par¬ 
ties du quadrilatère que nous avons calculées pour le trapèze. De sorte que les deux 
nouveaux quadrilatères satisfont à la question générale que nous supposons que l’auteur 
hindou s’est proposée; aussi aurait-il pu comprendre ces deux quadrilatères dans sa solution. 
L’existence de ces deux nouveaux quadrilatères a été connue de Bhascara, qui a donné 
l’expression de la troisième diagonale; mais qui n’a nullement aperçu quel était l’objet 
de la proposition de Brahmegupta, soit par rapport à l’inscriptibilité au cercle, soit par 
rapport à la rationalité des différentes parties de la figure. 
Cette troisième diagonale est égale à ce'. C’est précisément la valeur du diamètre du 
cercle circonscrit au quadrilatère. Ce qui prouve que le quadrilatère a deux angles droits 
qui sont opposés. Cette forme particulière du quadrilatère, qui mérite d’être remarquée, 
ne l’a pas été par Bhascara 2 . 
1 Ces trois quadrilatères ont la même surface. Leurs trois diagonales différentes ont avec cette surface et le 
diamètre du cercle circonscrit une relation qui consiste en ce que : Le produit des trois diagonales , divise par 
le double du diamètre du cerelc circonscrit, est égal à Vaire de Vun des quadrilatères. 
Cette proposition paraît due à Albert Girard, qui l’a énoncée dans sa Trigonométrie. Nous ne trouvons pas 
qu’elle ait été reproduite depuis. 
2 Cette propriété du quadrilatère, d’avoir deux angles droits, fait voir que la question de construire un 
quadrilatère inscriptible au cercle , dont les côtés , Taire , les diagonales, les perpendiculaires , ainsi que le 
diamètre du cercle, soient exprimés en nombre rationnels, est susceptible d’une solution très-simple , qui con¬ 
siste à prendre pour le diamètre du cercle un nombre rationnel quelconque, et à décomposer de deux manières 
différentes le carré de ce nombre en deux autres carrés. Les racines de ces nombres carrés seront les côtés du 
quadrilatère. On formera de cette manière les mêmes quadrilatères que par la méthode de Brahmegupta. 
Il est facile de voir que l’on peut encore opérer ainsi : Que l’on prenne un triangle scalène quelconque ABC , 
de manière que ses côtés et sa perpendiculaire soient des nombres rationnels ; et que par ses deux sommets B , 
C, on élève des perpendiculaires sur les côtés AB, AC, respectivement. Ces droites se couperont en un point I), 
et le quadrilatère ABDC satisfera à la question. En changeant Tordre de ses côtés on formera le trapèze de 
Brahmegupta 
