NOTES. 
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Reprenons les expressions de la perpendiculaire CF et du segment FD. On a 
b b 
CI< — — Çab' -+- ha' ) , FI) = - (hh' — aa'). 
Les deux lignes CF, FD, sont les côtés d’un triangle rectangle, dont l’hypoténuse est 
CD = Ac'. Ces expressions ne contiennent pas explicitement la quantité &, ni par consé¬ 
quent le coté CD, mais seulement les quantité a', h', dont la somme des carrés est égale 
au carré de c, ou CO = «'Z> et DO = h'b , dont la somme des carrés est égale au carré 
de CD. Ces expressions seraient donc encore rationnelles , quand bien même c', ou le côté 
CD, ne le serait pas. Par conséquent les lignes CF, FD donnent une solution géomé- 
tiique de ce piobleme. Décomposer un nombre donné ( carré ou non ) en deux nom¬ 
bres carrés, connaissant mie première solution de la question. 
Remplaçons e' 3 , par A; on pourra exprimer ainsi, algébriquement, la question et sa 
solution ; 
Pour résoudre l équation x 3 -+- y 2 = A , en nombres rationnels, quand on connaît 
un premier système de racines x', y', de cette équation, on prendra arbitrairement 
trois nombres carrés , a, b, c, tels que l’on ait a 3 -t- b 3 = c 3 ; et les racines cherchées 
seront 
au' -+- hx' 
x = JL -, 
c 
by' — ax' 
Ces formules, auxquelles conduït naturellement la question géométrique de Brahme- 
gupta, contiennent virtuellement les formules générales pour la résolution de l’équation 
Ca? 3 ± A = if' 1 , que l’on a trouvées, au grand étonnement des géomètres européens, 
dans 1 algèbre de cet auteur hindou, et qui, dans le siècle dernier, avaient fait honneur 
au grand Euler, qui, le premier, y était parvenu parmi les Modernes. 
1 En effet, dans l’équation à résoudre r 2 + } a = A , et dans les deux équations de condition x' 2 y' 2 — A 
et a 2 + b 2 = c 2 , remplaçons x par ®|/C, x' par x'i/c", a par a[/ ÏT; elles deviendront 
Cx 2 -t- y 2 = A, 
Cx ' 2 y ' 2 — A, 
Ca 2 -t- l 2 = e 2 ; 
et les expressions des racines x et y deviendront, par ces substitutions, 
ay r hx' 
c 
C ax' — bv' 
y = - 
c 
Ce sont les racines de l’équation C# 2 - 4 - y 2 — A. 
Maintenant observons que ces racines satisfont à cette équation 7 quelles que soient les valeurs des deux 
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