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NOTES. 
Les Indiens faisaient usage concurremment de l’Algèbre et de la Géométrie dans leurs 
spéculations mathématiques ; de l’algèbre pour abréger et faciliter la démonstration de leurs 
propositions géométriques, et de la Géométrie pour démontrer leurs règles d’algèbre et pein¬ 
dre aux yeux, par des figures, les résultats de l’analyse. Nous verrons des exemples de cette 
manière d’opérer, dans plusieurs passages des ouvrages de Bhascara, et dans les ouvrages des 
Arabes, qui ont reçu des Indiens celte alliance de l’algèbre à la Géométrie. Il paraît donc pos¬ 
sible que les Indiens soient parvenus à leur solution des équations indéterminées du second 
degré, par des considérations géométriques puisées dans la question du § 38, et que ce soit là 
la raison primitive de la présence du morceau de Géométrie intercalé dans les Traités d’a¬ 
rithmétique et d'algèbre de Brahmegupta. Ce qui viendrait à l’appui de cette conjecture, 
c’est qu’il paraît que les Arabes s’étaient aussi occupés des équations indéterminées du second 
degré, et qu’ils les avaient résolues par des considérations géométriques ; ce en quoi ils 
auraient été , probablement, les imitateurs des Indiens. Cela semble résulter d’un passage 
de Lucas de Burgo, qui, dans sa Summa de Arithmetica, Geometria , etc. ( distinctio 
prima , tractatus quartus ), parle du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise, 
où se trouvait résolue l’équation x 2 -t- y 2 = A, par des considérations et des figures géo¬ 
métriques. Les formules de Léonard de Pise, que Lucas de Burgo rapporte 1 , sont les 
nombres C et A, qui par conséquent peuvent être supposés négatifs. De sorte que l’équation peut prendre 
la forme 
et ses racines deviennent 
C# 2 ^ A — y 2 i 
I ay' - 4- bx' 
(G 
y = 
C ax' -H by 
Nous donnons le signe possitif à la valeur de y, parce que cette variable n’entrant qu’au carré dans l’é¬ 
quation, son signe est indifférent. 
Les équations de condition entre x' et y' d’une part, et n, h t c, de l’autre, sont 
C*' 2 ± A = y' 2 , 
C a 2 -t- c 2 = h 2 . 
C’est-à-dire que x' et y' sont un système de racines de l’équation proposée; et que “et - sont un système 
de racines de l’équation Cx 2 — y 2 . 
Les formules (1) qui résolvent l’équation Cæ 2 ± A = y 2 sont précisément celles que l’on trouve dans l’al¬ 
gèbre de Brahmegupta (section VU; pag. 364 et art. 68 de la traduction de M. Colebrooke.) 
Ainsi ces formules générales pouvaient se déduire facilement de la simple question de Géométrie traitée 
par l’auteur indien. 
1 Cardan dit aussi avoir emprunté de Léonard de Pise ces mêmes formules ? qu’il donna, sans démonstra¬ 
tion, dans sa Practica Arithmetice (chap. 66, question 44). Viète est le premier qui les ait démontrées, au 
commencement du IV e livre de ses Zètètiques. Sa démonstration est analytique. Peu de temps après, Alexandre 
Anderson s’est aussi occupé de cette question d’analyse indéterminée, et a démontré par des considérations 
géométriques les formules de Diophante , qui sont différentes de celles de Léonard de Pise ( voir Exercitatio- 
num mathematicarum Decas prima. Paris , 1619 , in-4°). 
Dans les notices historiques sur les équations indéterminées du second degré, on ne fait remonter qu’à 
