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NOTES. 
4° Formule qui donne l’aire du triangle en fonction des côtés, § 167. 
Nous l’énoncerons ci-dessous, au sujet du quadrilatère. 
Deuxième partie : Sur le triangle rectangle. 
1° Règles pour former un triangle rectangle en nombres rationnels; 
Quand un côté est donné , §§ 139, 140, 141 , 143 , 145 ; 
Quand l’hypoténuse est donnée, §§ 142, 144, 146. 
2° Construire un triangle rectangle dont on connaît un côté et la somme ou la diffé¬ 
rence de l’hypoténuse et du second côté, §§ 147, 148 , 149, 150, 151, 152, 153. 
3° Règle pour déterminer sur un côté d’un triangle rectangle le point dont la somme 
des distances aux extrémités de l’hypoténuse est égale à la somme des deux côtés de l’an¬ 
gle droit, §§ 154, 155. 
4° Construire un triangle rectangle dont on connaît l’hypoténuse et la somme ou la 
différence des deux côtés de l’angle droit, §§ 156, 157, 158. 
Troisième partie. Propositions sur le quadrilatère, 
1° La demi-somme des côtés est écrite quatre fois, on en retranche séparément les 
côtés, et l’on fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est l’aire, inexacte 
dans le quadrilatère, mais reconnue exacte dans le triangle ; §§ 167 , 168. 
C’est la formule de Brahmegupta, que Bhascara a copiée, sans l’avoir comprise, et sans 
avoir aperçu qu’il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Voilà pourquoi il dit 
que la règle est inexacte pour le quadrilatère ; et qu’il prouve ensuite qu’il est absurde de 
demander Faire d’un quadrilatère dont on ne connaît que les côtés, parce qu’avec les 
mêmes côtés, dit-il, on peut former plusieurs quadrilatères différens h §§ 169-170, 
171 , 172. 
2° Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange , l’aire est égale à la moitié du produit 
Il forme un rectangle qui a même base que le triangle , et pour hauteur la moitié de la perpendiculaire. La 
base supérieure du rectangle retranche du triangle un petit triangle qui est divisé par la perpendiculaire en 
deux triangles rectangles. Ceux-ci sont égaux respectivement aux deux triangles qu’il faut ajouter à la portion 
inférieure du triangle proposé pour compléter le rectangle. D’où il conclut que l’aire du triangle est égale à 
celle du rectangle, et conséquemment égale au produit de la base par la moitié de la perpendiculaire. 
Cette démonstration est très-simple et parle aux yeux autant qu’à l’esprit. C’est celle qu’emploient les Arabes, 
et qui a été adoptée à la renaissance, particulièrement par Lucas deBurgo etTartaléa. 
1 Le scoliaste Suryadasa, auteur de deux commentaires excellens, sur le Lilavati et le Bija-Ganita (Cole- 
brooke ; Brahmegupta and Bhascara, algebra ,p. xxvt), ne paraît pas avoir été plus habile que Bhascara dans 
l’intelligence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singulière raison pour prouver que l’aire est 
exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatère : 
a Si les trois restes sont additionnés ensemble, leur somme est égale à la moitié de la somme de tous les côtés. 
Le produit de la multiplication continue des trois restes étant multiplié parla somme de ces restes, le produit 
ainsi obtenu est égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la base. 
C’est une quantité carrée, car un carré multiplié par un carré , donne un carré. La racine carrée étant extraite, 
le résultat est le produit de la perpendiculaire par la moitié de la base, et c’est l’aire du triangle. Donc la véri¬ 
table aire est ainsi trouvée. Dans un quadrilatère, le produit de la multiplication ne donne pas une quantité 
carrée, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est l’aire de la figure ; non pas toutefois la véritable, 
car divisée par la perpendiculaire elle devrait donner la moitié de la somme de la base et de la corauste. » 
[Lilavati, p. 72). 
