NOTES. 
483 
L’ouvrage de Kepler est en cinq livres. Le premier, qui a pour titre : De fîgurarum 
regularium ,quœ proportiones harmonicas pariunt, ortu, classibus , ordine et diffe- 
rentiis, causa scientiœ et démonstrationis, est consacré à la théorie générale des 
figures régulières, et comprend en particulier celle des polygones étoilés. 
Dans le préambule, Kepler reproche à Ramus d’avoir critiqué le X e livre d’Euclide, 
et d’avoir voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des 
polygones réguliers qui ne sont pas inscriptibles dans le cercle géométriquement, et en 
montrant ce qui les distingue de ceux qu’on sait inscrire. Il promet d’écrire sur cette 
partie de la Géométrie en philosophe, et d’une manière plus claire, plus aisée et plus 
populaire qu’on n’a fait jusqu’alors. 
Ce livre commence par de nombreuses définitions, indispensables pour comprendre 
l’ouvrage ; mais dont nous ne rapporterons ici que les deux ou trois suivantes. 
Les figures régulières sont celles qui ont leurs côtés égaux, et leurs angles égaux. 
On les distingue en deux classes. Les unes sont primaires et radicales ; ce sont les 
polygones réguliers ordinaires; et les autres sont étoilées ; celles-ci sont formées par les 
prolongemens des côtés d’une figure radicale ] . 
Inscrire une figure dans le cercle, c’est déterminer par une construction géométrique 
(c’est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport (je son côté au 
diamètre du cercle. 
Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du X e livre d’Euclide, dont il se servira. 
Et il commence à la proposition trente-cinq, à traiter des dillérens polygones réguliers. 
II considère d’abord ceux qui sont inscriptibles dans le cercle géométriquement. 
On remarque , quant aux polygones étoilés, le pentagone de seconde espèce, l’octogone 
et le décagone de troisième espèce, le dodécagone des troisième et cinquième espèces, les 
pentédécagones des deuxième, quatrième et septième espèces, et l’étoile de 24 côtés, des 
cinquième , septième et onzième espèces. 
Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement, il démontre 
que heptagone ordinaire et ses deux étoiles sont du nombre. Alors il a recours à l’analyse, 
pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile , et de ne rien lui apprendre. Ce pas¬ 
sage contient plusieurs aperçus analytiques qui auraient dû préserver l’ouvrage de l’oubli. 
« On m’objectera, dit-il (page 34), l’art analytique, appelé algèbre par l’arabe Geber , 
» et cossa parles Italiens : caries côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir 
» être déterminés par cette méthode. 
« Par exemple, pour heptagone, JusteByrge, qui dans ce genre a imaginé des choses 
» très-ingénieuses et même incroyables, procède ainsi.etc. » 
Kepler cherche par des considérations géométriques l’expression du côté de heptagone 
régulier inscrit au cercle , en fonction du rayon ; et il parvient à cette équation: 
7 — I 4 ij 7 iiij — 1 vj œqu'e valent fgurœ nihili; 
1 Kepler ne dit pas si cette idée de polygones étoilés est de lui, ou s’il l’a empruntée de quelque ouvrage 
antérieur. 
