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NOTES. 
ou, suivant nos symboles actuels, 
7 — 14 a? 2 +7« 4 — a? 6 = o. 
où a? est le rapport du côté de l’eptagone au rayon du cercle. 
« La valeur de la racine d’une telle équation, dit-il, n’est pas unique ; car il y en a deux 
» pour le pentagone, trois pour l’eptagone, quatre pour le nonagone , et ainsi de suite. » 
Il ajoute que (pour l’eptagone) les trois racines sont les côtés de trois eptagones dif¬ 
férées, qu’on peut concevoir inscrits dans le même cercle. 
Yoilà l’interprétation bien nette des trois racines de l’équation qui donne le côté de 
l’eptagone régulier inscrit au cercle. Yoilà la notion analytique qui unit nécessairement 
la théorie des polygones étoilés à celle des polygones des Anciens. 
Kepler exprime encore, plus loin, ce même principe en des termes remarquables , car 
en avouant les difficultés que fait naître la fécondité même de l’analyse, il reconnaît tout 
ce que cette méthode a de beau. 
« Jusqu’ici, dit-il, le côté d’un polygone, et celui d’une étoile du même nom, avaient 
» eu chacun une description propre et sûre. Dans l’analyse algébrique, ce qu’il y a surtout 
» d’admirable ( quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre), c’est que 
;> la chose demandée ne peut pas être donnée d’une seule manière. Mais, encore bien que 
» ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé 
» plus haut, qu’il y a autant de nombres qui satisfont à l’équation, qu’il se trouve, dans 
» la figure, de cordes ou de diagonales de longueurs différentes ; comme , dans le penta- 
» gone, deux; dans l’eptagone, trois; dont un pour le côté, et les autres pour les diago- 
» nales. C’est pourquoi, enfin, tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure 
» au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre.» 
Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante, où il démontre 
que la division d’un arc en trois, cinq, sept, etc. parties, n’est pas possible géométri¬ 
quement. «Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d’une propriété com- 
» mune à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l’une 
» d’elles. 1 » 
Le second livre, intitulé : De figurarum regularium congruentiâ , traite encore 
des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe en revue les différentes ma¬ 
nières d’assembler des polygones, soit de même espèce, soit d’espèces différentes, pour 
remplir exactement une surface plane, et pour former des polyèdres réguliers. 
1 Au milieu de ces considérations mathématiques si justes et si profondes, on trouve quelques réflexions 
qui annoncent l’usage bizarre et chimérique que veut faire de ses savantes spéculations sur les polygones 
le génie de Kepler, dominé par les idées pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmo¬ 
graphiques des nombres : tel est ce passage qui termine la proposition 45 e : « Il est donc prouvé que les 
« côtés de ces figures doivent rester inconnus, et sont de leur nature introuvables. Et il n’y a rien d’èton - 
» nant en ceci, que ce qui ne peut se rencontrer dans VArchétype dit monde, ne puisse être exprimé dans la 
n conformation de ses parties. « 
Ce sont de pareilles idées qui ont conduit Kepler à l’une des plus grandes découvertes qu’on ait jamais 
faites ! 
