NOTES. 
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division que Lucas de Burgo a appelée proportion divine, dans son ouvrage qui a pour 
titre : Divina proportions, etc. , et dont il a détaillé treize effetti, ou utilités. Aujour¬ 
d’hui ces propriétés sont peu connues, par ce qu’on ne voit dans la division d’une droite 
en moyenne et extrême raison, que la résolution d’une équation du second degré qui doit 
renfermer toutes ces propriétés. Cela est vrai de celles qui sont purement analytiques, 
mais les plus remarquables et les plus nombreuses sont celles qui naissent de considéra¬ 
tions géométriques. Elles mériteraient qu’on réunît de nouveau toutes les propositions qui 
s’y rapportent, comme quelques géomètres ont fait à l’égard de la division harmonique 
d’une droite h Ce serait assurément un recueil de propositions intéressantes, qui donne¬ 
raient lieu à de nouvelles découvertes sur le même sujet, et à quelques relations sembla¬ 
bles et d’une plus grande généralité 2 . 
Campanus cite, dans une note qui est à la suite de la première proposition du quatorzième 
livre (le premier des deux d’Hypsicle), Aristée et Apollonius comme ayant démontré cette 
proposition, que les surfaces du dodécaèdre et de l’icosaèdre réguliers inscrits dans la 
même sphère sont entre elles dans le rapport des volumes de ces deux corps. L’ouvrage 
d’Aristée , dit-il, était intitulé : Expositio scientiœ quinque corporum, et celui d’Apol¬ 
lonius avait pour objet la Comparaison du dodécaèdre et de l’icosaèdre. Au commence¬ 
ment de la proposition dixième du même livre, qui est précisément celle que nous venons 
d’énoncer, Campanus prononce encore les noms d’Aristée et d’Apollonius, Les ouvrages 
de ces deux géomètres célèbres de l’antiquité ne nous sont point parvenus; et peut-être 
étaient-ils inconnus aussi de Campanus, qui a pu en parler d’après Hypsicle qui les cite 
à peu près dans les mêmes termes, au commencement de la seconde proposition de son 
premier livre. Dans sa préface, Hypsicle avait déjà parlé longuement d’Apollonius et de 
son ouvrage De dodecahedri et Icosahedri in eâdern sphœrâ descriptorum comparatione. 
Il paraît qu’on n’a fait attention généralement qu’à ce passage; car on ne cite ordinaire¬ 
ment que l’ouvrage d’Apollonius, et nullement celui d’Arislée , et je ne vois que Ramus 
Cui cuvn plurima philosophantium admiratione digna conveniant , hoc principium vel prœcipuum ex supe- 
riorum principiorum invariahili procedit natura , ut iam diversa solida tum magnitudine tum hasiurn 
numéro , tum etiam figurâ y irrationali quadam symphonia rationabiliter conciliet. (Lib. XIV, proposition 10.) 
1 De Billy , Tractatus de proportione harmonicâ. Paris, 1658, in-4°.—Saladini, Délia proporzione armonica. 
Bologne, 1761, in-8°. 
2 Par exemple : la division d’une droite en moyenne et extrême raison, se réduite à trouver entre deux 
points donnés A, B, un troisième point C, tel que l’on ait AC = AB. CB : un moyen facile de généraliser 
cette question, c’est de la regarder comme dérivant d’une autre , dans laquelle on a supposé qu’un point de la 
droite proposée a disparu en passant à l’infini. Soit I ce point ; le point cherché C devra satisfaire, par rap¬ 
port aux trois points donnés A, B, I, à l’équation : 
CÏ?1b? = CB. CI. BA. IA. 
En effet, si l’on suppose le point I à l’infini, l’équation se réduit à la première ci-dessus. 
Cette équation a cela de remarquable, que chacun des quatre points qui y entrent y joue le même rôle par 
rapport aux trois autres; et que, quel que soit celui des quatre points qu’on suppose à l’infini, l’équation 
résultante exprime toujours la division d’une droite en moyenne et extrême raison. 
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