NOTES. 
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ginale et dont il avait fait des versions plus correctes que celles qui nous venaient des 
Arabes; et, d’autre part, les propres découvertes de Regiomontanus. Parmi celles-ci on 
distingue surtout son traité De triangulis omnimodis lihri quinque (Norimbergæ, 1533, 
in-folio). Cet ouvrage est un traité complet de trigonométrie plane et sphérique. Les 
deux premiers livres sont pour les triangles rectilignes; ils renferment une foule de 
problèmes qui paraissent pour la première fois. Il s’agit toujours de déterminer, au 
moyen de trois données quelconques * les autres parties d’un triangle. Ainsi par exem¬ 
ple , dans le problème 7 du livre II, on donne le périmètre et deux angles d’un triangle ; 
dans le problème 12 du même livre, on donne la base, la perpendiculaire et le rapport 
des deux côtés. Regiomontanus dit que ce problème n’a pas encore été résolu par la 
Géométrie l . Et il y applique l’algèbre, qu’il appelle ars rei et census; elle le conduit 
à une équation du second degré; et il ajoute quod restât prœcepta artis edocehunt 2 . 
On voit par là que Regiomontanus possédait la connaissance de l’algèbre, qu’il avait 
acquise soit par l’ouvrage de Léonard de Pise, qu’il avait pu consulter en Italie ; soit par 
les traductions de l’algèbre de Mohammed ben Musa; et cela n’est point étonnant, car 
un esprit vaste et pénétrant comme celui de Regiomontanus ne pouvait ignorer une in¬ 
vention aussi belle et aussi utile, l’un des plus précieux dons que nous aient faits les 
Arabes; mais ce passage offre de l’intérêt, parce que ses termes prouvent que déjà, 
vers le milieu du XV e siècle, la connaissance des règles de l’algèbre était répandue 
et vulgaire parmi les mathématiciens. Et en effet Regiomontanus, qui fait encore 
usage souvent de la règle rei et census , dans ses lettres que le célèbre bibliographe 
De Murr a publiées 3 , écrit à l’astronome Blanchinus, qu’il pense que cet art lui est 
1 ta solution de ce problème par la seule Géométrie n’offrait pas de difficulté, et je ne sais pourquoi Regio¬ 
montanus a cru devoir y employer nécessairement l’algèbre. En effet d’après l’énoncé de la question, le 
sommet du triangle cherché se trouvera d’abord sur une droite parallèle à la base donnée , et ensuite sur une 
circonférence de cercle, qui est le lieu des points dont les distances aux deux extrémités de la base sont 
entre elles dans le rapport des deux côtés. 
Cette proposition était connue des Anciens : Pappus l’énonce comme l’une de celles qui se trouvaient dans le 
second livre de Lieux flans d’Apollonius, et Eutocius l’a démontrée au commencement de ses commen¬ 
taires sur les coniques de ce géomètre, pour donner un exemple des lieux géométriques qui servaient aux An¬ 
ciens dans la solution des problèmes. Elle se trouve dans le Traité des connues géométriques de l’arabe 
Hassan ben Ilaitem (1» livre, proposition 9). Chez les Modernes nous la trouvons dans le livre De proportionibus 
numerorum, motuum, etc., de Cardan ; puis dans un ouvrage d’Alexandre Anderson (voir notre note III sur 
les porismes) ; dans les Discorsi e dimostrazioni matcmatiche , etc. (p. 39) de Galilée ; dans les Lieux plans d’A¬ 
pollonius, restitués par Fermât, Schooten et A. Simson; dans la Dioptrique de Huygens, et dans beaucoup 
d’autres ouvrages. 31. Legendre l’a comprise dans ses élémens de Géométrie. 
2 La base étant 20, la perpendiculaire 5, et le rapport des deux côtés |, Regiomontanus prend pour l’incon¬ 
nue la différence des deux segmens faits sur la hase par la perpendiculaire ; et il arrive, par des considéra¬ 
tions géométriques, à l’équation 20 census plus 2000 œquales 680 rebus ; c’est-à-dire 20 æ 2 -t-2000=680 x. 
Dans le problème 23 , où il s’agit de construire un triangle dont on connaît la différence des deux côtés, la 
perpendiculaire , et la différence des segmens qu’elle fait sur la base , Regiomontanus emploie encore la règle 
rei et census. Nous avons dit, en parlant de la Géométrie des Indiens, que ce problème se trouvait résolu 
dans le Lilavati de Bhascara. 
3 Dans le premier volume de son recueil intitulé : Memorabilia Bibliothecarumpublicarum Norimhcrgensium. 
et universitatis Altdorfinoe Norimbergæ, 1786, 2 vol. in-8°. 
