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NOTES. 
La première partie est un traité complet de l’arithmétique spéculative, qui considère les 
propriétés des nombres, et de l’arithmétique pratique. 
L’arithmétique spéculative est dans le genre des ouvrages de Nicomaque, de Théon, de 
Boèce et de Jordan Nemorarius. Mais elle est terminée par une partie sur les nombres 
carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages et qui est très-remarquable. C’est une 
suite de questions qui appartiennent aujourd’hui à l’analyse indéterminée du second 
degré. Lucas de Burgo en donne seulement les solutions sans démonstration; il les em¬ 
prunte, dit-il, du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise, où elles étaient démon¬ 
trées -pur des considérations et sur des figures géométriques. Ces solutions, particulière¬ 
ment celle qui se rapporte à l’équation x % -+• y 1 2 = A, sont différentes de celles de 
Diophante, et sont les mêmes que celles qu’on trouve dans les ouvrages indiens, et qui 
ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler, ainsi que nous l’avons déjà dit en par¬ 
lant de la Géométrie de Brahmegupta. 
L’arithmétique pratique commence par l’exposition du système de numération , «dont 
les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas de Burgo, sont les Arabes; ce 
qui fait que cet art a été appelé abaco pour dire el muodo arahico; mais d’autres, ajoute- 
t-il , font dériver ce nom d’un mot grec b « On trouve les quatre opérations fondamentales 
de l’arithmétique 2 , la théorie des progressions, et l’extraction des racines carrées et cubi¬ 
ques des nombres, arithmétiquement et géométriquement ; puis le calcul des fractions; 
les règles de trois ; celles de fausse position que l’auteur appelle, d’après Léonard de Pise, 
règles d ’Helcataym, et qu’il attribue aux Arabes, mais qui leur venaient des Indiens ; et 
l’arithmétique commerciale, traitée avec une grande profusion de questions et d’exemples : 
cette partie de l’ouvrage a été imitée par beaucoup d’auteurs allemands, dans la première 
moitié du XVI 0 siècle. 
Lucas de Burgo , en passant à l’algèbre ( Distinctio octava ), la regarde comme la partie 
de la science du calcul la plus nécessaire à l’arithmétique et à la Géométrie. Il dit qu’on 
l’appelle communément YArte maggiore , ou la règle de la cosa, ou Algebra e Almuca- 
hala. Comme cet ouvrage est le premier traité d’algèbre qui ait été imprimé, et qu’on, a 
1 Ce passage fait voir que, du temps de Lucas de Burgo, on n’était pas fixé sur la vraie origine de notre sys¬ 
tème de numération. La signification que nous avons donnée au mot abacus employé par Boèce nous autorise 
à adopter la seconde supposition de Lucas de Burgo, c’est-à-dire à regarder le mot abaco comme dérivé du 
grec. Quoi qu’il en soit ce passage mérite d’être pris en considération dans les recherches sur l’origine de notre 
système de numération. 
2 L’auteur donne plusieurs procédés pour chaque opération. Parmi ceux de la multiplication se trouve une 
méthode indienne donnée par Ganesa dans ses commentaires sur le Lilavati de Bhascara, qui consiste à écrire 
le produit de chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en plaçant séparément, 
dans les deux cases triangulaires d’un carré , les chiffres des unités et des dixaines. Cette méthode ingénieuse 
sur laquelle repose celle des bâtons de Neper , paraît avoir été très-usitée dans le moyen âge et au XVI e siècle ; 
car on la trouve dans plusieurs manuscrits (voir les n os 7378. A et 7352 des manuscrits de la bibliothèque royale 
de Paris) et dans plusieurs ouvrages imprimés, dont nous citerons le Compendion de lo abaco de Pellos ; 
l ’arithmetica practica d’Oronce Finéej Varithmetica practica de Peverone , et les scholœ mathematicœ de 
Ramus. M. Libri l’a trouvée aussi dans un ouvrage chinois. (Histoire des sciences mathématiques en Italie, 
t. I, p. 341.) 
