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ADDITIONS. 
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On trouve dans les lettres de Descartes de nombreux passages relatifs à la Géométrie. Son 
volume d ’Opuscula posthuma (Amst. 1701, in-4°), contient aussi quelques morceaux de Géo¬ 
métrie. Il est à regretter que l’on n’ait pas encore songé à réunir tous ces passages épars, et à les 
comprendre dans une des nombreuses éditions que 1 on a faites de la Géométrie de Descartes. 
Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres, une méthode particulière, que ce cé¬ 
lèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et ses illustres 
contemporains Fermât, Roberval et Pascal; le problème de la tangente à la cycloïde. Cette 
méthode, qui a eu alors une grande célébrité, était d’une simplicité extrême, et convenait aux 
cycloïdes accourcies et allongées , comme l’a très-bien vu Descartes , et même à toutes sortes de 
roulettes , décrites par un point du plan d’une courbe quelconque qui roule sur une autre courbe 
fixe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d’une infinité de côtés. 
Ces polygones sont en contact suivant un côté commun, et conséquemment ont à chaque instant 
deux sommets communs ; pendant un mouvement infiniment petit le premier polygone tourne 
autour d’un de ces deux sommets qui reste fixe ; le point décrivant engendre donc un arc de 
cercle qui a son centre en ce sommet fixe ; la normale à cet arc de cercle , qui est un élément 
de la roulette décrite , passe donc par ce sommet. 
Cette méthode, qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les 
tangentes, est d’une simplicité extrême, et a toujours été employée depuis. Mais, à raison 
sans doute de cette simplicité même, elle n’a point attiré autant l’attention des géomètres qui 
n’en ont fait usage que dans la même question , en se bornant seulement à l’étendre aux épicy- 
cloïdes sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de distinctif et de spécial par rap¬ 
port aux autres solutions du problème des tangentes, il était naturel de chercher si le principe 
sur lequel elle reposait n’était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait appli¬ 
cable à d’autres questions. 
Le théorème suivant nous paraît offrir la généralisation de celui de Descartes : 
Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment petit dans son plan , il existe tou¬ 
jours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe; 
Les droites menées par les différens points de la figure, perpendiculairement aux trajectoire 
qu’ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe. 
D’après ce théorème , quand une courbe est décrite par un point d’une figure en mouvement 
dans son plan, il suffira, pour mener sa normale par le point décrivant, de déterminer le point 
qui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position qu’on consi- 
• dêre. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure. 
Par exemple , si l’on connaît le mouvement de deux points de la figure , on mènera par ces 
points les normales aux courbes qu’ils parcourent, le point d’intersection de ces deux normales 
sera le point cherché. 
Ainsi, qu’une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités par¬ 
courent deux droites fixes, on sait que chaque point de la droite, et même que chaque point 
pris au dehors de la droite , mais fixé invariablement à elle, décrit une ellipse. Pour déterminer 
la normale à cette courbe, on mènera les normales aux deux droites fixes par les extrémités de 
la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par où passera la normale 
cherchée. 
