ADDITIONS. 
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Page 161 , § 17. 
La considération des épicycloïd'es remonte très-haut, puisqu’elles ont joué un grand rôle 
dans le système astronomique de Ptolémée. Mais il ne paraît pas que l’on ait jamais étudié géo¬ 
métriquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre 
des lignes courbes qu’il a appris à décrire par points et dont l’usage pouvait être utile dans les 
arts de construction ; mais il n’en a point étudié non plus aucune propriété. 
La première épicycloïde dont la nature ait été connue est due à Cardan; c’est celle que décrit 
un point de la circonférence d’un cercle qui roule sur la concavité d’un cercle d’un rayon 
double. Cette ligne est, comme on sait, une droite. Cardan a démontré cette proposition dans 
son livre intitulé : Opus novum de proportionibus nurnerorum, motuum, etc. ( Voir Proposi¬ 
tion 178, p. 186). 
Ensuite Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un 
cercle sur lequel tombent des rayons parallèles est une épicycloïde engendrée par un point de la 
circonférence d’un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé ; ce cercle mobile ayant 
son diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci. Huygens a donné la rectification et la qua¬ 
drature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière, chap. VI). 
Vers le même temps, Delà Hire a trouvé que la caustique de Tschirnhausen, formée par la 
réflexion dans un cercle éclairé par des rayons parallèles est aussi une épicycloïde, qu’on en¬ 
gendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d’un autre cercle d’un 
diamètre double de celui du cercle fixe. 
Celte courbe est précisément la développée de celle de Huygens. 
Ce sont là, je crois, les premières épicycloïdes dont on ait connu quelques propriétés .géomé¬ 
triques. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions de physique et 
de mécanique où elles ont joué un rôle remarquable. 
Page 218. 
Clairaut a considéré avant Euler les courbes que celui-ci appelle lineœ affines ; il les regarde 
comme étant la projection l’une de l’autre, c’est-à-dire comme deux sections planes d’un même 
cylindre ; et il les appelle courbes de même espèce. Il fait voir que les coordonnées d’un point 
de l’une rapportées à deux axes pris dans son plan, étant x et y, les coordonnées du point cor¬ 
respondant dans la seconde courbe, rapportées aux deux axes qui correspondent dans le plan 
de cette courbe aux deux premiers axes, sont de la forme X = A#, Y— py. Ce qui montre 
que ces courbes de Clairaut sont les mêmes que celles d’Euler. (Voir Mémoires de l’Académie des 
Sciences de Paris , année 1781.) 
Page 265. 
Un caractère propre des principes de dualité et d’homographie tels que nous les exposerons, 
et qui repose sur l’usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c’est que, par la nature 
même de ce rapport, tous les théorèmes cjue nous obtiendrons s’appliqueront d’eux-mémes, 
presque toujours, aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un 
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