MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
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cette surface enveloppe, est le pôle du plan tangent à la surface A, 
mené par le point directeur auquel correspond cette position du 
plan mobile. 
En effet, pour obtenir le point où le plan mobile, dans une de 
ses positions, touche sa surface enveloppe A', on regarde ce point 
comme l’intersection de ce plan tangent et de deux autres plans tan- 
gens infiniment peu différens ; or ces trois plans correspondent à trois 
positions du point directeur infiniment voisines, c’est-à-dire à trois 
points d’un élément de la surface A, lesquels sont sur son plan tan¬ 
gent. Le point de contact du plan mobile et de la surface A' est donc 
le pôle de ce plan tangent à la surface A; ce qui démontre, en même 
temps, les deux parties du théorème énoncé. 
(3) Remarque. Ce théorème sera très-utile pour construire, par 
points, la surface enveloppe du plan mobile, quand le point direc¬ 
teur parcourra une surface donnée A. 
Car il suffira de mener les plans tangens de la surface A, et de 
chercher leurs pôles ; ce seront les points de la nouvelle surface. Or 
ces pôles se déterminent aisément, car soit + My -f N* = 1 l’équa¬ 
tion dun plan tangent à la surface A, les coordonnées de son pôle 
seront données par les trois équations linéaires 
X e= LU, Y = MU, Z = NU. 
Ce moyen de construire par points la surface enveloppe du plan 
mobile, sert aussi pour trouver immédiatement l’équation de cette 
surface, sans recourir au calcul différentiel, ordinairement indispen¬ 
sable dans les questions de surfaces enveloppes. 
Car le calcul se réduira à éliminer entre les trois équations que 
nous venons d’écrire, et l’équation de la surface proposée A, les coor¬ 
données x', y', z' appartenant à cette surface; l’équation résultante 
en X, Y, Z, qui sont des fonctions des coordonnées x, y , z de la 
surface enveloppe du plan mobile, sera précisément l’équation de 
cette surface. 
Supposons, par exemple, que le point directeur parcourre la sur- 
