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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
(6) Théorème IY. Quand le point directeur prend quatre posi¬ 
tions a, b, c, d, en ligne droite, le plan mobile prend quatre positions 
correspondantes , que nous désignons par A-, B, G, D; 
Ces quatre plans passent par une même droite , et leur rapport 
anharmonique 1 est égal à celui des quatre points a, b, c, d ; cest-à- 
dire que l’on a 
sin. C,A # sin. D,A ca m da 
sin. C ? B sin. D,B cb db 
En effet, les quatre plans A, B, C, D passent par une même droite, 
puisque les quatre points a, b, c, d sont en ligne droite; par consé¬ 
quent si on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre 
plans aux points a, 6, y, on aura 
sin. C,A. ' sin. D,A 
sin. C,B ’ sin. D,B 
Il suffit donc de prouver que le premier membre de cette équation 
est égal au second membre de l’équation ci-dessus. 
Pour cela, soient £, v, ç, les coordonnées d un point fixe K , piis sur 
la droite des quatre points a, b, c, d; et soient r', r" , r"', r , les 
distances de ces quatre points au point K; leurs coordonnées seront 
x' = Ç -4- , 
y' = v -4- mr' , 
z’ = ? -4- nr ; 
pour le point a ; 
x" = § -4- lr" , l 
y" — v -h mr" , ) pour le point b ; 
z" = ? -4- nr" ; | 
x’" = ? -4- lr"’ , 1 
y'" — v + mr"' , ) pour le point c ; 
z’" e= Ç -4- nr"' j i 
et 
x™ = ? -4- lr™ , J 
yiy == v - 4 - mr'v , I pour le point d ; 
siv — ç _4_ nr™ ; J 
1 Nous avons donné dans la Note IX la définition du rapport anharmonique de quatre points, 
ou de quatre plans. 
