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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
(7) Remarque. L’équation P + Qp' + (R + V ) r' = o fait voir que : 
sur une droite quelconque, il se trouve en général deux points qui, 
regardés comme deux positions du point directeur, donnent deux 
plans mobiles qui passent par ces points respectivement . 
En effet, si on veut que le plan A, correspondant au point a , 
passe par ce point, on aura, dans l’équation ci-dessus, p' = r' , et 
elle deviendra 
P (Q + R) r' -t- S r' 5 = o. 
Les deux racines de cette équation détermineront les deux points 
en question sur chaque transversale. 
En général, quand le plan mobile passe par son point directeur, 
ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré. 
En effet l’équation du plan mobile est 
Xoc’ h- Y y' 4 - Zz r — U ; 
si ce plan passe par le point directeur, cette équation sera satisfaite 
quand on mettra x', y', z' à la place de x, y, z, dans X, Y, Z et U. 
Mais alors on aura une équation du second degré ; cette équation 
représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le 
point directeur ; ce qui démontre le théorème. 
Il faut observer, cependant, que si l’équation du plan mobile était 
telle qu’en y faisant x=x', y — y',z^=z', on la rendît identique, 
ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile 
passerait constamment par le point directeur. 
(8) Théorème Y. Étant données cinq positions du point direc¬ 
teur, on pourra prendre arbitrairement dans l’espace cinq plans 
qui seront les cinq positions du plan mobile, correspondantes 
respectivement à ces cinq points. 
En effet soient x’, y', z' les coordonnées d’un des cinq points 
donnés, et 
P.® -+- Qy -+- Rs = 1, 
l’équation du plan qui doit correspondre à ce point. 
