MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
655 
C’est en cela que consiste le théorème de géométrie à trois dimen¬ 
sions qui correspond à celui de géométrie plane, connu sous le nom 
de porisme d’Euclide, et qu’on énonce ainsi : 
Etant donnés, dans an plan, deux points fixes et un angle dont 
le sommet est placé sut • la droite qui joint ces deux points ; si de 
chaque point d’une droite donnée on mène deux droites à ces deux 
points fixes , elles rencontreront respectivement les deux côtés de 
l’angle en deux points qui détermineront une droite qui tournera 
autour d’un point fixe h 
(113) Si, dans le théorème ci-dessus, on place les sommets du 
triangle abc de manière qu’ils soient respectivement dans les plans 
des faces correspondantes de l’angle trièdre, alors on démontre que 
le plan des trois points d , 6', fi, passe par le point m, c’est-à-dire que 
1 M. Poncelet a aussi remarqué que ce porisme d’Euclide offrait un moyen de transformer 
les figures sur le plan. (Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives 
des lignes et surfaces géométriques. Voir Journal de M. Crelle , t. VIII, p. 408 ; année 18182.) 
Pour conserver à cette proposition le nom d a porisme, il faut l’énoncer sous la forme d’un 
théorème local, ainsi que nous venons de le faire, d’après R. Simson dans son traité de Poris- 
matibus (proposition 84). Mais ce théorème est susceptible d’un autre énoncé , plus simple et 
plus expressif, dont s’est servi Pappus, en le considérant comme une propriété de l’hexagone 
inscrit à deux droites. Cette propriété consiste en ce que les trois points de concours des côtés 
opposés de cet hexagone sont en ligne droite. On peut se demander quel sera, dans la géométrie 
à trois dimensions, l’énoncé correspondant à celui-là. Pour répondre à cette question, nous 
présenterons sous une autre forme le théorème de Pappus ; nous dirons que : 
Etant donnés trois points quelconques sur une droite , et trois autres points quelconques sur une 
seconde droite; si l’on regarde ceux-ci comme les sommets de trois triangles ayant respectivement 
pour bases les trois segmens formés par les trois premiers points, pris deux à deux; il passera par 
les extrémités de chaque segment, outre les deux côtés du triangle qui a pour base ce segment; deux 
autres côtés appartenant aux deux autres triangles ; ces deux côtés se couperont en un point, et l’on 
aura de la sorte trois points ; 
Ces trois points seront en ligne droite. 
Le théorème correspondant, dans l’espace , sera le suivant : 
Etant pris arbitrairement dans un premier plan quatre points, et dans un autre plan quatre 
autres points ; si ceux-ci sont regardés comme les sommets de quatre tétraèdres ayant pour bases 
respectivement les quatre triangles formés par les quatre premiers points , pris trois à trois; par 
les côtés de chacun de ces triangles il passera, outre les trois faces du tétraèdre qui a pour base ce 
triangle, trois autres plans appartenant respectivement aux trois autres tétraèdres ; ces trois plans 
se couperont en un point ; et l'on aura ainsi quatre points dans l’espace; 
Ces quatre points seront dans un même plan. 
