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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
soit pour la démonstration du principe de dualité, soit pour l’applica¬ 
tion de cette théorie à la transformation des propriétés de l’étendue. 
(120) Nous ne saurions trop appeler l’attention du lecteur sur 
l’équation du n° (116), 
Sin. C,A Sin. D,A ca _ da 
Sin. C,B * Sin. D,B cb db 
qui représente toutes les relations qui sont transformables immédiate¬ 
ment par la théorie des polaires, de même que par les autres mé¬ 
thodes du même genre. Faute d’avoir aperçu cette relation, et de 
l’avoir reconnue comme le type unique de toutes celles qu’on pouvait 
soumettre à la théorie des polaires réciproques, on a été obligé de 
faire intervenir dans les transformations polaires la théorie des dé¬ 
formations par voie de perspective , pour les figures planes, et par la 
considération des fgures homologiques, pour les figures à trois di¬ 
mensions. De sorte qu’on a fait dépendre les applications du principe 
de dualité, de la théorie des figures homologiques 1 , tandis que l’un 
1 M. Poncelet, dans son Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, après avoir 
pris une conique, ou une surface du second degré quelconque, pour transformer les relations 
descriptives, prend, pour la transformation des relations métriques, un cercle et une sphère. 
Puis il justifie cette méthode et démontre la généralité de ses résultats, en ces termes : « On peut 
a remarquer en passant, qu’attendu la nature particulière des relations que nous venons d’exa- 
» miner, ces différens théorèmes auraient lieu, d’une manière analogue , dans le cas où, à 
» la place d’un cercle, on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxi- 
» liaire; caron peut toujours considérer l’un de ces systèmes comme la perspective ou projec- 
» tion centrale de l’autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient 
)> elles-mêmes projectives de leur nature, et ne concernent par conséquent aucune grandeur 
» constante et déterminée. 
» Au surplus, je crois devoir le dire expressément, cette observation, qui s’applique éga- 
« lement au cas de l’espace que nous aurons bientôt à examiner, n’ajoute rien à la généralité 
» des conséquences qu’il est possible de déduire des théorèmes précédens, quoique leur énoncé 
» .suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport à un cercle 
» auxiliaire. » (Voir Journal de M. Crelle, t. IV , p. 88.) 
Ainsi M. Poncelet démontre à posteriori , au moyen de la perspective, la généralité de ses 
transformations faites sur le plan avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de l’es¬ 
pace il n’indique pas la démonstration analogue; mais on comprend que ce sera par son ingé¬ 
nieuse théorie des figures homologiques, dont il a déjà fait de nombreuses et belles applica¬ 
tions dans le supplément de son Traité des propriétés projectives des figures. 
