MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
661 
et l’autre doivent avoir une égale indépendance et une égale facilité 
d’action. Et si même l’on veut établir entre l’un et l’autre des rap¬ 
ports, ce sera la théorie des figures homologiques qui pourra dé¬ 
river complètement du principe de dualité, comme nous le ferons voir 
au commencement de la seconde partie de cet écrit, tandis que ce 
principe ne peut nullement dériver de cette théorie. Aussi, dans nos 
applications du principe de Dualité, nous n’avons point été obligé 
de rechercher, comme on avait fait auparavant, les relations pro¬ 
jectives, c’est-à-dire qui sont transformables par la perspective ou 
par la théorie des figures homologiques; l’équation ci-dessus, et les 
diverses interprétations que nous lui avons données ($ III), ont re¬ 
présenté toutes les relations transformables dont nous n’avons point 
eu à faire l’énumération. Il nous a suffi toujours de ramener les rela¬ 
tions proposées à la forme du rapport anharmonique , et de leur 
appliquer, d’une manière invariable, le principe de l’équation ( 1 ) 
(même§, art. 12) ou de ses diverses interprétations. 
Mais, pourra-t-on dire, la relation anharmonique est elle-même 
projective, et par conséquent de celles que l’on sait transformer par 
la théorie des polaires. Cela est vrai. Mais il est vrai aussi, 1° que 
cette relation n’a jamais été transformée d’une manière générale, et 
qu’elle n’aurait pu l’être, dans l’état où nous avons pris la théorie des 
polaires en entreprenant cet écrit, qu’au moyen d’une sphère ou d’un 
paraboloïde pour surface auxiliaire ; parce que la propriété des sur¬ 
faces du second degré exprimée par l’équation ci-dessus, est nou¬ 
velle; 2 ° que, bien que la relation anharmonique soit projective, 
on n’a pas songé à la prendre pour le type unique des relations 
projectives, ni des relations transformables par le principe de dualité, 
c’est-à-dire pour la fonne unique à laquelle devaient être comparées 
et ramenées toutes les autres relations ; ce qui donne un caractère de 
généralité et de précision aux méthodes de transformation, qui au¬ 
paravant étaient restreintes, et avaient quelque chose de vague et 
d’incertain dans leurs applications. 
Les théorèmes nouveaux auxquels nous sommes parvenu dans les 
Tom. XI. 84 
